Funciones Vectoriales y Curvas en Cálculo Multivariable
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Pregunta: ¿Qué es una curva γ en R^N según la definición dada (N = 2 o 3)?
Respuesta: Un conjunto de puntos para el cual existe una función continua r⃗ : [a,b] → R^N tal que r⃗([a,b]) = γ; la función r⃗ es una parametrización de γ.
Pregunta: ¿Cómo se llama la función continua r⃗ : [a,b] → R^N que satisface r⃗([a,b]) = γ?
Respuesta: Se llama representación paramétrica o parametrización de la curva γ.
Pregunta: ¿Qué efecto tiene una parametrización r⃗ sobre el orden de los puntos de la curva?
Respuesta: Cada parametrización r⃗ establece un orden en el que los puntos (x,y) o (x,y,z) = r⃗(t) ∈ γ se obtienen cuando t varía desde a hasta b.
Pregunta: ¿Puede una misma curva admitir más de una parametrización?
Respuesta: Sí. Una curva puede admitir más de una parametrización.
Pregunta: ¿Cuándo diremos que un punto P⃗0 ∈ R^N pertenece a una curva γ parametrizada por r⃗?
Respuesta: Si existe t0 ∈ [a,b] tal que P⃗0 = r⃗(t0).
Pregunta: ¿Qué es un punto múltiple de una curva parametrizada r⃗ : [a,b] → R^N?
Respuesta: Un punto P⃗ = r⃗(t) es múltiple si existe más de un valor t ∈ (a,b) tal que r⃗(t) = P⃗.
Pregunta: ¿Qué significa que una curva γ sea simple?
Respuesta: Que no tiene puntos múltiples; es decir, r⃗ es inyectiva en (a,b] o en [a,b).
Pregunta: ¿Qué significa que una curva γ sea cerrada según la definición dada?
Respuesta: Que r⃗(a) = r⃗(b); los puntos r⃗(a) y r⃗(b) se llaman extremos de la curva.
Pregunta: ¿Cómo se parametriza una curva definida en forma polar r=f(θ)?
Respuesta: x=f(θ)cos(θ), y=f(θ)sen(θ), para α≤θ≤β, donde f es continua en [α,β].
Pregunta: Si r=a cos(θ) con a>0 y θ∈[0,2π], ¿qué curva se obtiene y cuáles son su centro y radio?
Respuesta: Se obtiene una circunferencia de centro (a/2,0) y radio a/2.