Test sobre Funciones Potencia y Transformaciones

Pregunta 1: La función $g(x) = a \cdot (x - h)^n + k$ es la función potencia $f(x) = a \cdot x^n$ desplazada $h$ unidades en el eje x y $k$ unidades en el eje y.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según la sección 'Desplazamiento compuesto' de las notas, la función $g(x) = a \cdot (x - h)^n + k$ es la función $f(x) = a \cdot x^n$ desplazada $k$ unidades en el eje y, y $h$ unidades en el eje x, de acuerdo con las reglas de desplazamiento vertical y horizontal.

Pregunta 2: Para una función potencia con exponente positivo impar, si el coeficiente 'a' es negativo, la rama derecha del gráfico apunta hacia arriba.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Los gráficos expuestos para funciones potencia de exponentes positivos impares corresponden a casos donde 'a' es mayor que 0. En estos casos, la rama derecha del gráfico apunta hacia arriba. Si el coeficiente 'a' fuera negativo, la gráfica se reflejaría verticalmente, lo que causaría que la rama derecha apuntara hacia abajo.

Pregunta 3: Con respecto a las funciones potencia con exponente positivo par, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A. La función cuadrática es un tipo de función potencia con exponente positivo par.

B. Si el coeficiente 'a' es negativo, la parábola de la función potencia con exponente positivo par tendrá concavidad positiva.

C. Funciones como f(x) = a · x^4 o f(x) = a · x^6 son funciones cuadráticas.

D. Todas las funciones potencia con exponente positivo par tienen su vértice en (h, k) solo si 'a' es positivo.

Explicación: La función cuadrática es un caso particular de función potencia con exponente positivo par, específicamente cuando el exponente es 2. Si el coeficiente 'a' es negativo, la parábola tiene concavidad negativa, no positiva. Funciones como f(x) = a · x^4 no son funciones cuadráticas, aunque son parábolas en el plano y funciones potencia con exponente positivo par. El vértice (h, k) se aplica a la forma trasladada g(x) = a · (x - h)^n + k, independientemente del signo de 'a' y se refiere a cualquier función potencia con exponentes positivos, no solo a los casos con 'a' positivo.

Pregunta 4: Según el material de estudio, ¿cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente la definición de una función potencia?

A. Una función $f(x) = a \cdot x^n$ donde $a$ es cualquier número real y $n$ es un número entero.

B. Es una función de la forma $f(x) = a \cdot x^n$, con $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, donde $a \in \mathbb{R}, a \neq 0$, y $n \in \mathbb{Z}, n \neq 1$.

C. Es una función donde el exponente $n$ siempre debe ser un número positivo par.

D. Una función $f(x) = a \cdot x^n$ donde $a$ es un número real distinto de 0, y $n$ es siempre un número natural mayor que 1.

Explicación: La definición proporcionada en el material de estudio establece que la función potencia $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es de la forma $f(x) = a \cdot x^n$, donde $a$ es un número real distinto de 0, y $n$ es un número entero distinto de 1. La opción 1 es la única que reproduce fielmente todos estos criterios. La opción 0 es incorrecta porque $a$ no puede ser cualquier número real (debe ser distinto de 0) y $n$ no puede ser cualquier entero (debe ser distinto de 1). La opción 2 es incorrecta porque el exponente puede ser positivo, negativo, par o impar, siempre que sea un entero distinto de 1. La opción 3 es incorrecta porque $n$ debe ser un número entero distinto de 1, no necesariamente un número natural mayor que 1 (podría ser negativo, por ejemplo).

Pregunta 5: En los primeros 12 minutos, 180 personas vieron el video que se viralizó según la función $f(t) = 10\left(\frac{t}{2}\right)^2$.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Para determinar cuántas personas vieron el video en los primeros 12 minutos, se debe evaluar la función $f(t) = 10\left(\frac{t}{2}\right)^2$ para $t=12$.$f(12) = 10\left(\frac{12}{2}\right)^2 = 10(6)^2 = 10(36) = 360$.Por lo tanto, 360 personas vieron el video en los primeros 12 minutos, no 180.