Resumen de Funciones Potencia y Transformaciones

## Introducción La función potencia es una familia de funciones de la forma $$f(x)=a\cdot x^{n}$$ donde $a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ y $n$ es un número entero distinto de 1 (puede ser positivo o negativo, par o impar). Estas funciones aparecen con frecuencia en física, economía y en modelos naturales que implican proporciones y escalas. > **Definición:** Una función potencia es cualquier función que puede expresarse como $$f(x)=a\cdot x^{n}$$ con $a\neq 0$ y $n$ entero. ## Conceptos básicos ### Parámetros importantes - Coeficiente $a$: controla la amplitud y el sentido (positivo o negativo) de la curva. - Exponente $n$: determina la forma básica de la curva según si es par/ímpar y positivo/negativo. - Dominio y recorrido dependen de $n$ y de desplazamientos. > **Nota:** Si $n$ es negativo, la función no está definida en $x=0$ y aparece una asíntota vertical en $x=0$. ### Clasificación según $n$ - Exponente positivo par ($n=2,4,6,\dots$): la gráfica es simétrica respecto al eje $y$. Si $a>0$ la concavidad es hacia arriba; si $a<0$ la concavidad es hacia abajo. - Exponente positivo impar ($n=1,3,5,\dots$): la gráfica es simétrica respecto al origen (paso de cuadrantes), cruza por $(0,0)$ y tiene un comportamiento distinto a izquierda y derecha. - Exponente negativo par ($n=-2,-4,-6,\dots$): la función está definida en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, es positiva si $a>0$ y tiene asíntota vertical en $x=0$ y asíntota horizontal en $y=0$. - Exponente negativo impar ($n=-1,-3,-5,\dots$): definida en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, cambia de signo según el signo de $x$ y presenta asíntotas en $x=0$ y $y=0$. ### Tabla comparativa (forma y simetría) | Tipo de exponente | Simetría | Comportamiento en $x=0$ | Ejemplo | Observación | | --- | ---: | --- | --- | --- | | Positivo par | simétrica respecto al eje $y$ | definida en $0$ | $f(x)=2x^{4}$ | similar a parábola, mínimo en $x=0$ si $a>0$ | | Positivo impar | simétrica respecto al origen | definida en $0$ | $f(x)=x^{3}$ | crece en sentido distinto a izquierda/derecha | | Negativo par | simétrica respecto al eje $y$ | no definida en $0$ | $f(x)=3x^{-2}$ | asíntota vertical en $x=0$ | | Negativo impar | simétrica respecto al origen | no definida en $0$ | $f(x)= -x^{-1}$ | cambia de signo entre lados de $0$ | ## Desplazamientos (traslaciones) Dada la función base $$f(x)=a\cdot x^{n}$$: 1. Desplazamiento vertical: $$g(x)=a\cdot x^{n}+k$$ desplaza la gráfica $k$ unidades en el eje $y$. - Si $k>0$ se mueve hacia arriba. - Si $k<0$ se mueve hacia abajo. 2. Desplazamiento horizontal: $$g(x)=a\cdot (x-h)^{n}$$ desplaza la gráfica $h$ unidades en el eje $x$. - Si $h>0$ se mueve hacia la derecha. - Si $h<0$ se mueve hacia la izquierda. 3. Desplazamiento compuesto: $$g(x)=a\cdot (x-h)^{n}+k$$ desplaza $h$ unidades en $x$ y $k$ unidades en $y$. > **Definición:** Una traslación de una función cambia la posición de su gráfica sin alterar su forma básica. ### Efecto en dominio y recorrido - Si la función base está definida en todo $\mathbb{R}$ (por ejemplo $n>0$), la traslación vertical no cambia el dominio pero sí puede cambiar el recorrido. - Si la función base no está definida en $x=0$ (casos $n<0$), las traslaciones horizontales pueden mover la asíntota vertical a $x=h$ y afectar el dominio: $$\text{Dom}\,g=\mathbb{R}\setminus\{h\}$$. Ejemplo práctico: - Función: $$f(x)=2x^{-4}$$ - Dominio: $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ - Recorrido: $\text{Rec}\,f=\{y\in\mathbb{R}\;|\;y>0\}$ si $a>0$ - Trasladada 3 unidades hacia arriba: $$g(x)=2x^{-4}+3$$ - Dominio: $\text{Dom}\,g=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ - Recorrido: $\text{Rec}\,g=\{y\in\mathbb{R}\;|\;y>3\}$ ## Ejemplos resueltos 1) Identificar tipo y simetría: $$f(x)= -4x^{6}$$ - $n=6$ (par y positivo), $a=-4$ (negativo) \Rightarrow simétrica respecto al eje $y$, concavidad hacia abajo, vértice en $(0,0)$ y valores $y\le 0$. 2) Traslación horizontal y vertical combinada: $$h(x)=3\cdot (x-2)^{3}-1$$ - Es potencia con $n=