Resumen de Funciones Potencia: Definición y Propiedades
Funciones Potencia: Definición, Propiedades y Ejemplos
Introducción
La función potencia es una familia de funciones muy usada para modelar fenómenos de crecimiento, decrecimiento y comportamiento cercano a cero. En general tiene la forma $f(x)=ax^{n}$ donde $a$ es el coeficiente y $n$ es el exponente. En esta guía desglosaremos sus propiedades según el signo y paridad del exponente, veremos ejemplos y aplicaciones sencillas.
Definición: Una función potencia es cualquier función de la forma $f(x)=ax^{n}$ con $a\in\mathbb{R}\setminus{0}$ y $n\in\mathbb{Z}\setminus{0}$.
Conceptos básicos
Componentes de la función
- Coeficiente: $a$, controla la amplitud y el sentido (positivo o negativo) de la gráfica.
- Exponente: $n$, determina la forma: si $n$ es par la función es simétrica respecto del eje $y$, si $n$ es impar la función es simétrica respecto del origen (imparidad).
Definición: Una función es par si $f(x)=f(-x)$ para todo $x$ del dominio. Una función es impar si $f(-x)=-f(x)$ para todo $x$ del dominio.
Formas equivalentes y traslaciones
- Forma estándar: $f(x)=ax^{n}$.
- Trasladada: $f(x)=a(x-h)^{n}+k$ es la misma forma pero trasladada por el vector $(h,k)$.
Dominio y recorrido según exponente y coeficiente
A continuación se resume en una tabla las características principales según la paridad del exponente y el signo del coeficiente.
| Exponente / Coeficiente | Dominio | Recorrido | Cuadrantes | Monotonía | Concavidad / Punto especial |
|---|---|---|---|---|---|
| Par, $a>0$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}_{+}\cup{0}$ | I y II | Decreciente en $]-\infty,0[$, creciente en $]0,+\infty[$ | Mínimo en $(0,0)$ si sin traslación |
| Par, $a<0$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}_{-}\cup{0}$ | III y IV | Creciente en $]-\infty,0[$, decreciente en $]0,+\infty[$ | Máximo en $(0,0)$ si sin traslación |
| Impar, $a>0$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | I y III | Creciente en $]-\infty,+\infty[$ | Punto de inflexión en $(0,0)$; cóncava abajo en $]-\infty,0[$ y cóncava arriba en $]0,+\infty[$ |
| Impar, $a<0$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | II y IV | Decreciente en $]-\infty,+\infty[$ | Punto de inflexión en $(0,0)$; cóncava arriba en $]-\infty,0[$ y cóncava abajo en $]0,+\infty[$ |
Definición: Si $n$ es negativo, la función tiene asíntota vertical en $x=0$ y el dominio es $\mathbb{R}\setminus{0}$.
Exponente positivo: casos y ejemplos
Exponente par y coeficiente positivo
- Ejemplo: $f(x)=3x^{4}$. Dom: $\mathbb{R}$. Recorrido: $[0,+\infty[$. Gráfica en I y II.
- Observaciones: tiene mínimo en $x=0$, simetría par.
Exponente par y coeficiente negativo
- Ejemplo: $f(x)=-2x^{6}$. Dom: $\mathbb{R}$. Recorrido: $(-\infty,0]$. Gráfica en III y IV.
Exponente impar y coeficiente positivo
- Ejemplo: $f(x)=3x^{5}$. Dom: $\mathbb{R}$. Recorrido: $\mathbb{R}$. Función estrictamente creciente, punto de inflexión en $(0,0)$.
Exponente impar y coeficiente negativo
- Ejemplo: $f(x)=-7x^{3}$. Dom: $\mathbb{R}$. Recorrido: $\mathbb{R}$. Función estrictamente decreciente.
Exponente negativo: comportamiento y ejemplos
Cuando $n<0$ la función se puede escribir $f(x)=a x^{n}=a / x^{|n|}$ y presenta asíntota en $x=0$.
Exponente par negativo y $a>0$
- Ejemplo: $f(x)=0.2x^{-2}=0.2/ x^{2}$. Dom: $\mathbb{R}\setminus{0}$. Recorrido: $\mathbb{R}_{+}$. Creciente en $]-\infty,0[$ y decreciente en $]0,+\infty[$.
Exponente impar negativo y $a>0$
- Ejemplo: $f(x)=x^{-1}=1/x$. Dom: $\mathbb{R}\setminus{0}$. Recorrido: $\mathbb{R}\setminus{0}$. Decreciente en ambos intervalos, asíntota en $x=0$.
Paridad de funciones: cómo comprobarla
- Para $f(x)=ax^{n}$, si $n$ es par entonces $f(-x)=a(-x)^{n}=ax^{n}=f(x)$, por lo tanto la función es par.
- Si $n$ es impar entonces $f(-x)=a(-x)^{n}=-ax^{n}=-f(x)$, por lo tanto la función es impar.
Ejercicios prácticos resueltos
- Determinar paridad y dominio de $f(x)=-2x^{6}$.
- $n=6$ es par, luego $f$ es par. Dominio $\mathbb{R}$. Recorrido $(-\infty,0]$.
- Analizar $f(x)=0.2x^{-2}$.
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Funciones potencia - Guía
Klíčové pojmy: Función potencia: $f(x)=ax^{n}$ con $a\neq0$, $n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$, Si $n$ es par la función es par: $f(-x)=f(x)$, Si $n$ es impar la función es impar: $f(-x)=-f(x)$, Si $n>0$ dominio $\mathbb{R}$; si $n<0$ dominio $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, Exponente negativo implica asíntota vertical en $x=0$, Coeficiente $a>0$ orienta la gráfica hacia valores positivos; $a<0$ hacia negativos, Exponente par produce mínimo o máximo en $x=0$ (sin traslación), Exponente impar produce punto de inflexión en $(0,0)$, Monotonía: par y $a>0$ decrece en $]-\infty,0[$ y crece en $]0,+\infty[$, Ejemplos clave: $3x^{5}$ (impar, creciente), $-2x^{6}$ (par, negativa)