Test sobre Funciones: Operaciones, Inversas y Modelado

Pregunta 1: La inversa de una función es única.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Una de las propiedades importantes de las funciones inversas es que la inversa de una función 𝑓 es única.

Pregunta 2: Una función se considera uno a uno si una recta horizontal puede cortar su gráfica en más de un punto.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Una función es uno a uno si una recta horizontal puede cortar la gráfica a lo sumo en un punto. Si alguna recta horizontal corta la gráfica de una función más de una vez, entonces la función no es uno a uno.

Pregunta 3: Dadas las funciones f(x) = sqrt(x - 3) y g(x) = x - 5, ¿cuál es el dominio de la función (f/g)(x)?

A. (-∞, 5) ∪ (5, ∞)

B. [3, 5) ∪ (5, ∞)

C. [3, ∞)

D. (3, 5)

Explicación: El dominio de f(x) = sqrt(x - 3) requiere que x - 3 ≥ 0, lo que significa que x ≥ 3, por lo tanto, D_f = [3, ∞). El dominio de g(x) = x - 5 son todos los números reales, es decir, D_g = (-∞, ∞). Para la función (f/g)(x), el dominio es la intersección de D_f y D_g, excluyendo los valores de x donde g(x) = 0. En este caso, g(x) = x - 5 = 0 cuando x = 5. La intersección de [3, ∞) y (-∞, ∞) es [3, ∞). Al excluir x = 5, el dominio de (f/g)(x) es [3, 5) ∪ (5, ∞).

Pregunta 4: Dadas las funciones f(x) = x - 5 y g(x) = x^2 - 9, determine el dominio de la función combinada (f/g)(x).

A. (-∞, ∞)

B. (-∞, -3) ∪ (-3, 3) ∪ (3, ∞)

C. [5, ∞)

D. (-∞, 3) ∪ (3, 5] ∪ (5, ∞)

Explicación: El dominio de f(x) = x - 5 es (-∞, ∞). El dominio de g(x) = x^2 - 9 también es (-∞, ∞). Para la combinación (f/g)(x), el dominio es la intersección de los dominios de f y g, excluyendo los valores de x donde g(x) = 0. g(x) = x^2 - 9 = 0 cuando x^2 = 9, es decir, x = 3 o x = -3. Por lo tanto, el dominio de (f/g)(x) es (-∞, ∞) excepto x = 3 y x = -3, lo que se expresa como (-∞, -3) ∪ (-3, 3) ∪ (3, ∞).

Pregunta 5: En el modelado matemático, el paso de eliminar variables innecesarias tiene como propósito principal introducir más variables para complejizar la función que describe un fenómeno real.

A. Ano

B. Ne

Explicación: El propósito del paso de eliminar variables innecesarias, como se observa en el ejemplo de cercar un jardín, es reducir la función a depender de una única variable (como el ancho 'x') para simplificar el modelo del área. El objetivo es que la función dependa de una sola variable, no complejizarla.