Resumen de Funciones: Operaciones, Inversas y Modelado
Funciones: Operaciones, Inversas y Modelado para Estudiantes
Introducción
Las funciones son herramientas fundamentales en Matemática I: transforman entradas ($x$) en salidas ($f(x)$) y permiten modelar relaciones entre cantidades. En este material revisamos cómo combinar funciones mediante operaciones aritméticas y composición, cómo identificar funciones uno a uno y cómo hallar funciones inversas. Presentamos definiciones, ejemplos resueltos y reglas para determinar dominios.
Combinación de funciones (operaciones aritméticas)
Cuando tenemos dos funciones $f$ y $g$, podemos definir nuevas funciones mediante suma, resta, producto y cociente:
Definición: Si $f$ y $g$ tienen dominios $A$ y $B$, entonces
- $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
- $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$
- $(f\cdot g)(x)=f(x),g(x)$
- $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ siempre que $g(x)\neq 0$.
- Dominio de las operaciones: $\operatorname{Dom}(f\pm g)=\operatorname{Dom}(f\cdot g)=A\cap B$. Para el cociente, además se excluyen los puntos donde $g(x)=0$.
Ejemplo rápido
Dadas las gráficas donde $f(2)=3$ y $g(2)=5$:
- $(f+g)(2)=3+5=8$
- $(f\cdot g)(2)=3\cdot5=15$
- $\left(\dfrac{f}{g}\right)(2)=\dfrac{3}{5}$ (si $g(2)\neq0$)
Ejemplo con dominios
Sea $f(x)=\sqrt{x}$ y $g(x)=1-x$.
- $\operatorname{Dom}f=[0,\infty)$
- $\operatorname{Dom}g=(-\infty,1]$
- Entonces $\operatorname{Dom}(f+g)=[0,1]$ porque es la intersección.
Ejemplo con polinomios y cociente
Sea $f(x)=x^2-4$ y $g(x)=x-6$.
- $\operatorname{Dom}f=\mathbb{R}$, pero si consideramos la expresión $\sqrt{f(x)}$ habría restricciones; en el ejemplo dado se impuso $x^2-4\ge0$ dando $(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$.
- $\operatorname{Dom}g=\mathbb{R}$, pero $g(x)\neq0$ implica $x\neq6$ para el cociente.
- Para $\dfrac{f}{g}$: $\operatorname{Dom}={x\in\operatorname{Dom}f\cap\operatorname{Dom}g:;g(x)\neq0}$, p. ej. $(-\infty,-2]\cup[2,\infty)\setminus{6}$.
Composición de funciones
La composición aplica una función sobre el resultado de otra.
Definición: Si $f$ y $g$ son funciones, la composición $f\circ g$ está definida por $(f\circ g)(x)=f(g(x))$.
- Orden: $f\circ g\neq g\circ f$ en general.
- Dominio de $f\circ g$: conjunto de $x$ tales que $x\in\operatorname{Dom}(g)$ y $g(x)\in\operatorname{Dom}(f)$.
Interpretación en máquinas
Pensar en $g$ como una primera máquina que transforma $x$ en $g(x)$; $f$ es una segunda máquina que toma $g(x)$ y produce $f(g(x))$.
Ejemplos
- $f(x)=x$, $g(x)=x^2+1$. Entonces $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=g(x)=x^2+1.$$
- $f(x)=3x$, $g(x)=x^2-1$. Entonces $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=3,(x^2-1)=3x^2-3.$$ Para el dominio hay que asegurarse de que $g(x)$ esté en $\operatorname{Dom}(f)$. Si $\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus{0}$, entonces exigimos $g(x)\neq0$.
Ejercicio guía resuelto
Dadas $f(x)=2x+3$ y $g(x)=x^2$, comprobar que $f\circ g\neq g\circ f$:
- $$(f\circ g)(x)=2,(x^2)+3=2x^2+3$$
- $$(g\circ f)(x)=(2x+3)^2=4x^2+12x+9$$ Son distintos, por lo tanto las composiciones no conmutan.
Función uno a uno (inyectiva)
Definición: Una función $f$ es uno a uno (inyectiva) si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas. Equivalente: toda recta horizontal corta la gráfica como mucho en un punto.
- Si $f$ es inyectiva entonces existe una función inversa $f^{-1}$ cuya composición con $f$ devuelve la identidad en los conjuntos correspondientes.
Función inversa
Definición: Si $f$ es inyectiva con dominio $A$ y rango $B$, la inversa $f^{-1}$ tiene dominio $B$ y rango $A$ y satisface $f^{-1}(y)=x$ si $f(x)=y$.
Propiedades clave:
- $\operatorname{Dom}(f^{-1})=\operatorname{Im}(f)$ y $\operatorname{Im}(f^{-1})=\operatorname{Dom}(f)$.
- $f(f^{-1}(x))=x$ para todo $x$ en $\operatorname{Dom}(f^{-1})$.
- $f^{-1}(f(x))=x$ para todo $x$ en $\operatorname{Dom}(f)$.
- Las gráficas de $f$ y $f^{-1}$ son simétricas respecto a la recta $y=x$.
Cómo calcular $f^{-1}$ (procedimiento)
- Escribir $y=f(x)$.
- Resolver la ecuación para $x$ en términos de $y$.
- Intercambiar $x$ y $y$: la nueva expres
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Funciones: operaciones e inversas
Klíčové pojmy: Una operación entre funciones requiere que $x$ pertenezca a $\operatorname{Dom}(f)\cap\operatorname{Dom}(g)$., Para el cociente $\dfrac{f}{g}$ además se exige $g(x)\neq0$., La composición $f\circ g$ exige $x\in\operatorname{Dom}(g)$ y $g(x)\in\operatorname{Dom}(f)$., En general $f\circ g\neq g\circ f$; el orden importa., Una función es inyectiva si toda recta horizontal corta su gráfica a lo sumo una vez., Si $f$ es inyectiva entonces existe $f^{-1}$ con $f(f^{-1}(x))=x$ y $f^{-1}(f(x))=x$., Para hallar $f^{-1}$: escribir $y=f(x)$, despejar $x$ y luego intercambiar $x$ e $y$., Las gráficas de $f$ y $f^{-1}$ son simétricas respecto a $y=x$., Si $\operatorname{Im}(g)\subseteq\operatorname{Dom}(f)$ entonces $\operatorname{Dom}(f\circ g)=\operatorname{Dom}(g)$., Para practicar, comprobar dominios al combinar funciones con raíces, denominadores o restricciones implícitas.