Resumen de Funciones Lineales y Afines: Gráficos

## Introducción Las **funciones lineales y afines** representan relaciones sencillas entre dos cantidades y se grafican como rectas en el plano cartesiano. Aprender a identificarlas, representarlas y usar sus parámetros te permite modelar situaciones reales en física, economía y otras ciencias. > **Definición:** Una función es una relación entre dos conjuntos $X$ e $Y$ donde a cada elemento de $X$ le corresponde un único elemento de $Y$. ## Conceptos básicos ### ¿Qué es una función lineal? > **Definición:** Una función lineal es una función de la forma $y = mx$, donde $m$ es la pendiente. - La recta pasa por el origen $(0,0)$ si la función es estrictamente lineal $y = mx$. - La pendiente $m$ indica cuánto cambia $y$ cuando $x$ aumenta en una unidad. ### ¿Qué es una función afín? > **Definición:** Una función afín es una función de la forma $y = mx + b$, donde $m$ es la pendiente y $b$ es la ordenada al origen (el punto donde la recta corta el eje $y$). - Si $b \neq 0$, la recta no pasa por el origen. - $b$ representa el valor de $y$ cuando $x = 0$. ## Interpretación de los parámetros - Pendiente $m$: si $m > 0$ la recta sube hacia la derecha; si $m < 0$ baja hacia la derecha; si $m = 0$ la recta es horizontal. - Ordenada al origen $b$: valor $y$ en $x = 0$, punto $(0,b)$. Tabla comparativa: | Característica | Función lineal $y = mx$ | Función afín $y = mx + b$ | | --- | --- | --- | | Pasa por el origen | Sí | Sólo si $b = 0$ | | Parámetros | $m$ | $m$, $b$ | | Interpretación de $b$ | No aplica | Ordenada al origen $(0,b)$ | ## Cómo graficar una recta (pasos) 1) Elige valores de $x$ y calcula $y$ usando la fórmula. Por ejemplo toma tres valores de $x$: $-2$, $0$, $3$. 2) Construye una tabla de valores con los pares $(x,y)$. 3) Coloca los puntos en el plano cartesiano. 4) Une los puntos con una regla para obtener la recta. Ejemplo paso a paso: Graficar $y = 2x + 3$ Calcular valores: $$x = -2\Rightarrow y = 2(-2) + 3 = -1$$ $$x = 0\Rightarrow y = 2(0) + 3 = 3$$ $$x = 3\Rightarrow y = 2(3) + 3 = 9$$ Tabla de valores: $x$, $-2$, $0$, $3$; $y$, $-1$, $3$, $9$. Coloca los puntos $(-2,-1)$, $(0,3)$, $(3,9)$ y traza la recta. Otro ejemplo corregido: Graficar $y = 2x - 5$ Calcular valores: $$x = -8\Rightarrow y = 2(-8) - 5 = -21$$ $$x = 0\Rightarrow y = 2(0) - 5 = -5$$ $$x = 2\Rightarrow y = 2(2) - 5 = -1$$ Puntos: $(-8,-21)$, $(0,-5)$, $(2,-1)$. ## Interpretación geométrica y aplicaciones - En física, una función afín puede modelar velocidad constante con una posición inicial, por ejemplo $s(t) = vt + s_0$ donde $v$ es la pendiente y $s_0$ es la posición inicial. - En economía, una recta puede representar una relación de costo fijo más costo variable: $C(q) = mq + b$ donde $b$ es el costo fijo y $m$ el costo por unidad. Ejemplos reales: - Trayectoria simple en movimiento rectilíneo uniforme: $s(t) = vt + s_0$. - Costo total de producción: $C(q) = c_{var} q + c_{fix}$. Fun fact: ¿Sabías que muchas predicciones sencillas en economía usan funciones afines porque distinguen claramente entre efectos proporcionales (pendiente) y efectos fijos (ordenada al origen)? ## Errores comunes y cómo evitarlos - Confundir función lineal con función afín: verifica si $b = 0$ para saber si pasa por el origen. - Calcular mal la pendiente: recuerda que la pendiente entre dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ es $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. - Usar pocos puntos: siempre coloca al menos dos puntos distintos; tres ayudan a comprobar errores de cálculo. Paso para encontrar la pendiente desde dos puntos: $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ ## Ejercicios prácticos (con instrucciones) 1) Para cada función, haz una tabla con tres valores de $x$, calcula $y$, dibuja la recta y anota los puntos de intersección con los ejes: - $y = 3x + 2$ - $y = -\frac{1}{2}x + 4$ - $y = 5x$ 2) Determina la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas: - $y = -2x + 7$ - $y = 0.25x - 3$ 3) Problema aplica