Resumen de Funciones Invertibles: Inyectividad, Suryectividad y Biyectividad

## Introducción Las funciones invertibles son fundamentales en matemáticas porque permiten "deshacer" una relación: dado un valor de salida, recuperar su entrada única. En arquitectura y otras áreas, entender cuándo una función tiene inversa ayuda a modelar transformaciones que pueden revertirse, como cambios de escala o coordenadas. ## Conceptos básicos > **Definición:** Sean $A,B\subset\mathbb{R}$ y $f\colon A\to B$. Diremos que: > - $f$ es **sobreyectiva** (epiyectiva) si $B=\operatorname{Rec}(f)$. Es decir, para todo $y\in B$ existe algún $x\in A$ tal que $y=f(x)$. > - $f$ es **inyectiva** si para todo $a,b\in A$, $f(a)=f(b)$ implica $a=b$. Equivalentemente, no hay dos entradas distintas con la misma salida. > - $f$ es **biyectiva** si es inyectiva y sobreyectiva. ### ¿Por qué importa la biyectividad? - Si $f$ es biyectiva entonces existe una única función inversa $f^{-1}\colon B\to A$ tal que $$f\circ f^{-1}=I_B\quad\text{y}\quad f^{-1}\circ f=I_A.$$ - Esto significa que la transformación dada por $f$ es reversible y cada salida corresponde a una única entrada. ## Propiedades de funciones invertibles > **Teorema:** $f$ es invertible si y solo si $f$ es biyectiva. > **Proposición:** Si $f\colon A\to B$ y $g\colon B\to C$ son biyectivas, entonces: > 1. $f^{-1}$ es biyectiva. > 2. $(f^{-1})^{-1}=f$. > 3. $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$. ## Cómo comprobar inyectividad y sobreyectividad - Inyectividad: mostrar que $f(a)=f(b)$ implica $a=b$. A veces se prueba verificando que $f$ es estrictamente monótona (creciente o decreciente) en su dominio. - Sobreyectividad: para cada $y$ en el codominio propuesto, resolver la ecuación $y=f(x)$ y verificar que existe al menos una solución $x$ en el dominio. ### Tabla comparativa | Propiedad | Qué evita | Condición práctica | |---|---:|---| | Inyectiva | Dos entradas con la misma salida | $f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$; o $f$ monótona | Sobreyectiva | Valores del codominio sin preimagen | Para todo $y\in B$ existe $x\in A$ con $f(x)=y$ | Biyectiva | Ambigüedad y falta de cobertura | Inyectiva y sobreyectiva; tiene inversa única ## Ejemplos resueltos ### Ejemplo 1 Sea $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=|x|$. - ¿Es inyectiva? No, porque $f(1)=f(-1)=1$ y $1\ne -1$. - ¿Qué cambio hacer para que sea inyectiva? Restringir el dominio a $[0,\infty)$ o a $(-\infty,0]$. Por ejemplo, $f\colon[0,\infty)\to[0,\infty)$ con $f(x)=|x|$ es inyectiva. ### Ejemplo 2 Sea $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^3$. - ¿Es sobreyectiva? Sí, porque para cualquier $y\in\mathbb{R}$ la ecuación $x^3=y$ tiene solución real $x=\sqrt[3]{y}$. - ¿Es inyectiva? Sí, porque $x^3$ es estrictamente creciente en $\mathbb{R}$, entonces es biyectiva y por tanto invertible. ### Ejemplo 3 Sea $f\colon A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=\dfrac{2x-5}{x+3}$. - Dominio $A$: todos los reales excepto $x=-3$, es decir $A=\mathbb{R}\setminus\{-3\}$. - Para determinar el codominio mínimo que haga a $f$ sobreyectiva, se estudia la imagen resolviendo $y=\dfrac{2x-5}{x+3}$ para $x$ en función de $y$: $$y=\dfrac{2x-5}{x+3}$$ Multiplicamos: $$y(x+3)=2x-5$$ $$yx+3y=2x-5$$ Reagrupando términos en $x$: $$yx-2x=-5-3y$$ $$x(y-2)=-5-3y$$ Si $y\ne 2$ entonces $$x=\dfrac{-5-3y}{y-2}.$$ Por tanto cualquier $y\ne 2$ tiene preimagen; $y=2$ no tiene solución (denominador nulo). Entonces $\operatorname{Rec}(f)=\mathbb{R}\setminus\{2\}$. - ¿Es $f$ inyectiva en su dominio? Sí: la inversión muestra que para cada $y\ne 2$ hay exactamente un $x$ dado por la fórmula anterior, así que $f$ es biyectiva como función $f\colon\mathbb{R}\setminus\{-3\}\to\mathbb{R}\setminus\{2\}$. - Inversa: despejando se obtiene $$f^{-1}(y)=\dfrac{-5-3y}{y-2}.$$ ### Ejemplo 4 (racional-fractional) Sea $f(x)=\dfrac{x+3}{1-x}$. - Dominio: $x\ne 1$. - Resolver $y=\dfrac{x+3}{1-x}$ para $x$ da la inversa (similar al procedimiento anterior). ## Aplicaciones reales - Transformaciones de coordenadas en diseño