Resumen de Funciones Invertibles: Inyectividad, Suryectividad y Biyectividad
Funciones Invertibles: Inyectividad, Suryectividad y Biyectividad
Introducción
Las funciones invertibles son fundamentales en matemáticas porque permiten "deshacer" una relación: dado un valor de salida, recuperar su entrada única. En arquitectura y otras áreas, entender cuándo una función tiene inversa ayuda a modelar transformaciones que pueden revertirse, como cambios de escala o coordenadas.
Conceptos básicos
Definición: Sean $A,B\subset\mathbb{R}$ y $f\colon A\to B$. Diremos que:
- $f$ es sobreyectiva (epiyectiva) si $B=\operatorname{Rec}(f)$. Es decir, para todo $y\in B$ existe algún $x\in A$ tal que $y=f(x)$.
- $f$ es inyectiva si para todo $a,b\in A$, $f(a)=f(b)$ implica $a=b$. Equivalentemente, no hay dos entradas distintas con la misma salida.
- $f$ es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
¿Por qué importa la biyectividad?
- Si $f$ es biyectiva entonces existe una única función inversa $f^{-1}\colon B\to A$ tal que $$f\circ f^{-1}=I_B\quad\text{y}\quad f^{-1}\circ f=I_A.$$
- Esto significa que la transformación dada por $f$ es reversible y cada salida corresponde a una única entrada.
Propiedades de funciones invertibles
Teorema: $f$ es invertible si y solo si $f$ es biyectiva.
Proposición: Si $f\colon A\to B$ y $g\colon B\to C$ son biyectivas, entonces:
- $f^{-1}$ es biyectiva.
- $(f^{-1})^{-1}=f$.
- $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$.
Cómo comprobar inyectividad y sobreyectividad
- Inyectividad: mostrar que $f(a)=f(b)$ implica $a=b$. A veces se prueba verificando que $f$ es estrictamente monótona (creciente o decreciente) en su dominio.
- Sobreyectividad: para cada $y$ en el codominio propuesto, resolver la ecuación $y=f(x)$ y verificar que existe al menos una solución $x$ en el dominio.
Tabla comparativa
| Propiedad | Qué evita | Condición práctica |
|---|---|---|
| Inyectiva | Dos entradas con la misma salida | $f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$; o $f$ monótona |
| Sobreyectiva | Valores del codominio sin preimagen | Para todo $y\in B$ existe $x\in A$ con $f(x)=y$ |
| Biyectiva | Ambigüedad y falta de cobertura | Inyectiva y sobreyectiva; tiene inversa única |
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Sea $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=|x|$.
- ¿Es inyectiva? No, porque $f(1)=f(-1)=1$ y $1\ne -1$.
- ¿Qué cambio hacer para que sea inyectiva? Restringir el dominio a $[0,\infty)$ o a $(-\infty,0]$. Por ejemplo, $f\colon[0,\infty)\to[0,\infty)$ con $f(x)=|x|$ es inyectiva.
Ejemplo 2
Sea $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^3$.
- ¿Es sobreyectiva? Sí, porque para cualquier $y\in\mathbb{R}$ la ecuación $x^3=y$ tiene solución real $x=\sqrt[3]{y}$.
- ¿Es inyectiva? Sí, porque $x^3$ es estrictamente creciente en $\mathbb{R}$, entonces es biyectiva y por tanto invertible.
Ejemplo 3
Sea $f\colon A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=\dfrac{2x-5}{x+3}$.
-
Dominio $A$: todos los reales excepto $x=-3$, es decir $A=\mathbb{R}\setminus{-3}$.
-
Para determinar el codominio mínimo que haga a $f$ sobreyectiva, se estudia la imagen resolviendo $y=\dfrac{2x-5}{x+3}$ para $x$ en función de $y$:
$$y=\dfrac{2x-5}{x+3}$$ Multiplicamos: $$y(x+3)=2x-5$$ $$yx+3y=2x-5$$ Reagrupando términos en $x$: $$yx-2x=-5-3y$$ $$x(y-2)=-5-3y$$ Si $y\ne 2$ entonces $$x=\dfrac{-5-3y}{y-2}.$$ Por tanto cualquier $y\ne 2$ tiene preimagen; $y=2$ no tiene solución (denominador nulo). Entonces $\operatorname{Rec}(f)=\mathbb{R}\setminus{2}$.
-
¿Es $f$ inyectiva en su dominio? Sí: la inversión muestra que para cada $y\ne 2$ hay exactamente un $x$ dado por la fórmula anterior, así que $f$ es biyectiva como función $f\colon\mathbb{R}\setminus{-3}\to\mathbb{R}\setminus{2}$.
-
Inversa: despejando se obtiene $$f^{-1}(y)=\dfrac{-5-3y}{y-2}.$$
Ejemplo 4 (racional-fractional)
Sea $f(x)=\dfrac{x+3}{1-x}$.
- Dominio: $x\ne 1$.
- Resolver $y=\dfrac{x+3}{1-x}$ para $x$ da la inversa (similar al procedimiento anterior).
Aplicaciones reales
- Transformaciones de coordenadas en diseño
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Funciones Invertibles
Klíčová slova: Funciones Invertibles
Klíčové pojmy: Definición de inyectiva: $f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$, Definición de sobreyectiva: para todo $y\in B$ existe $x\in A$ con $f(x)=y$, Biyectiva = inyectiva + sobreyectiva, Función invertible ⇐⇒ biyectiva, Inversa única satisface $f\circ f^{-1}=I_B$ y $f^{-1}\circ f=I_A$, Para hallar inversa: escribir $y=f(x)$ y despejar $x$ en función de $y$, Ejemplo: $f(x)=|x|$ no es inyectiva en $\mathbb{R}$, sí en $[0,\infty)$, Ejemplo: $f(x)=x^3$ es biyectiva en $\mathbb{R}$, Racionales tipo $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ suelen ser biyectivas salvo valores que anulan denominador/imagen, Composición inversa: $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$, Verificar dominio y recorrido al definir la inversa