Funciones Invertibles: Inyectividad, Suryectividad y Biyectividad
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Pregunta: ¿Qué significa que una función f: A → B sea sobreyectiva (epiyectiva)?
Respuesta: Significa que Rec(f)=B; es decir, para todo y∈B existe algún x∈A tal que y=f(x).
Pregunta: ¿Cuál es la definición de función inyectiva?
Respuesta: f es inyectiva si para todo a,b∈A, f(a)=f(b) implica a=b (equivalente: f(a)≠f(b) para a≠b).
Pregunta: ¿Qué quiere decir que una función sea biyectiva?
Respuesta: Que es simultáneamente inyectiva y sobreyectiva.
Pregunta: Si una función f es biyectiva, ¿qué se puede afirmar sobre su inversa?
Respuesta: Tiene una única función inversa f^{-1}:B→A tal que f^{-1}(b)=a cuando f(a)=b.
Pregunta: Defina formalmente qué significa que una función f: A→B sea invertible.
Respuesta: f es invertible si existe g:B→A tal que f∘g=I_B y g∘f=I_A; esa g es la inversa f^{-1}.
Pregunta: ¿Cuál es la relación entre ser invertible y ser biyectiva?
Respuesta: Teorema: f es invertible si y sólo si f es biyectiva.
Pregunta: Si f: A→B y g: B→C son biyectivas, ¿qué propiedades tienen las inversas respecto a composición?
Respuesta: (1) f^{-1} es biyectiva. (2) (f^{-1})^{-1}=f. (3) (g∘f)^{-1}=f^{-1}∘g^{-1}.
Pregunta: Considere f(x)=|x| como función f:ℝ→ℝ. ¿Es inyectiva? Si no, ¿qué cambio se debe hacer para que lo sea?
Respuesta: No es inyectiva (valores ±x dan mismo valor). Para que sea inyectiva hay que restringir el dominio, por ejemplo a [0,∞).
Pregunta: Para f(x)=x^3 como función ℝ→ℝ: ¿es sobreyectiva? ¿es inyectiva?
Respuesta: Es ambas: es inyectiva y sobreyectiva (por lo tanto biyectiva) en ℝ→ℝ.
Pregunta: Dada f(x)=(2x−5)/(x+3) con A⊆ℝ→ℝ: ¿qué preguntas principales se deben determinar según el ejemplo?
Respuesta: Determinar el dominio Dom(f), el recorrido Rec(f) adecuado para sobreyectividad y si f es inyectiva (o el máximo dominio donde sea invertible) y encon