Resumen de Funciones Cuadráticas y Sistemas Lineales
Funciones Cuadráticas y Sistemas Lineales: Guía Completa SEO
Introducción
Las trayectorias de drones de reparto se modelan frecuentemente con funciones cuadráticas cuando la componente vertical del movimiento está afectada por la gravedad y una velocidad inicial vertical. En este material veremos cómo analizar modelos de altura $h(t)$ en función del tiempo $t$, resolver preguntas típicas (evaluación, diferencias, ceros, intersecciones) y aplicar técnicas algebraicas relevantes para ingeniería.
Definición: Una función cuadrática es una función de la forma $f(x)=ax^{2}+bx+c$, con $a\neq 0$, cuya gráfica es una parábola.
Modelos del problema
Se nos dan tres funciones que modelan la altura (en metros) de tres drones en función del tiempo (en segundos):
$$h_{1}(t) = -1{,}8,t^{2} + 11{,}2,t$$ $$h_{2}(t) = -2{,}1,t^{2} + 13{,}5,t$$ $$h_{3}(t) = -1{,}5,t^{2} + 9{,}6,t$$
Cada parábola abre hacia abajo porque el coeficiente de $t^{2}$ es negativo; esto refleja que la gravedad hace que, después del ascenso, el dron descienda hasta tocar el suelo ($h=0$).
Evaluación de funciones: pasos y orden
Para evaluar $h(t)$ en un tiempo dado:
- Sustituir el valor de $t$ en la expresión.
- Calcular las potencias primero ($t^{2}$).
- Multiplicar por coeficientes.
- Sumar o restar los términos.
Ejemplo rápido: evaluar $h_{1}(2{,}7)$ requiere primero calcular $2{,}7^{2}$, luego multiplicar por $-1{,}8$ y sumar $11{,}2\times 2{,}7$.
Preguntas del problema (resueltas paso a paso)
a) Altura del primer dron a los $2{,}7$ s
Sustituimos $t=2{,}7$ en $h_{1}(t)$:
$$h_{1}(2{,}7) = -1{,}8,(2{,}7)^{2} + 11{,}2,(2{,}7)$$
Calculemos paso a paso: $(2{,}7)^{2}=7{,}29$; luego
$$-1{,}8\times 7{,}29 = -13{,}122$$ $$11{,}2\times 2{,}7 = 30{,}24$$
Suma:
$$h_{1}(2{,}7) = -13{,}122 + 30{,}24 = 17{,}118$$
Redondeando a dos decimales: $h_{1}(2{,}7) = 17{,}12\ \text{m}$.
b) Diferencia de alturas entre dron 1 y dron 2 a los $3{,}2$ s (valor absoluto)
Primero evaluamos ambas alturas en $t=3{,}2$:
$$h_{1}(3{,}2) = -1{,}8,(3{,}2)^{2} + 11{,}2,(3{,}2)$$ $$(3{,}2)^{2}=10{,}24$$ $$-1{,}8\times 10{,}24 = -18{,}432$$ $$11{,}2\times 3{,}2 = 35{,}84$$ $$h_{1}(3{,}2) = -18{,}432 + 35{,}84 = 17{,}408$$
$$h_{2}(3{,}2) = -2{,}1,(3{,}2)^{2} + 13{,}5,(3{,}2)$$ $$-2{,}1\times 10{,}24 = -21{,}504$$ $$13{,}5\times 3{,}2 = 43{,}2$$ $$h_{2}(3{,}2) = -21{,}504 + 43{,}2 = 21{,}696$$
Diferencia en valor absoluto:
$$|h_{1}(3{,}2) - h_{2}(3{,}2)| = |17{,}408 - 21{,}696| = 4{,}288$$
Redondeando a dos decimales: $4{,}29\ \text{m}$.
c) ¿Cuándo el tercer dron toca el suelo? (resolver $h_{3}(t)=0$)
Igualamos a cero:
$$-1{,}5,t^{2} + 9{,}6,t = 0$$ Factorizamos $t$:
$$t\left(-1{,}5,t + 9{,}6\right) = 0$$
Las soluciones son $t=0$ (despegue) y la que cumple $-1{,}5,t + 9{,}6 = 0$:
$$-1{,}5,t + 9{,}6 = 0$$ $$-1{,}5,t = -9{,}6$$ $$t = \frac{-9{,}6}{-1{,}5} = \frac{9{,}6}{1{,}5}$$
Calculando: $t = 6{,}4$ s.
Expresado con dos decimales: $t = 6{,}40\ \text{s}$.
d) ¿En qué instante el primer dron alcanza $7{,}5$ m? (posibles dos soluciones)
Igualamos:
$$-1{,}8,t^{2} + 11{,}2,t = 7{,}5$$
Llevamos a forma estándar:
$$-1{,}8,t^{2} + 11{,}2,t - 7{,}5 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para facilitar (o aplicamos fórmula tal cual):
$$1{,}8,t^{2} - 11{,}2,t + 7{,}5 = 0$$
Usamos la fórmula cuadrática; los coeficientes son $a=1{,}8$, $b=-11{,}2$, $c=7{,}5$ si se deja así, o usando la forma anterior $a=-1{,}8$, $b=11{,}2$, $c=-7{,}5$. Aplicando la fórmula con $a=1{,}8$, $b=-11{,}2$, $c=7{,}5$:
$$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$
Calculemos el discriminante:
$$b^{2} = (-11{,}2)^{2} = 125{,}44$$ $$4ac = 4\times 1{,}8\times 7{,}5 = 54$$ $$\Delta = 125{,}44 - 54 = 71{,}44$$ $$\sqrt{\Delta} = 8{,}45\ \text{(aprox.)}$$
Entonces:
$$t = \frac{11{,}2 \pm 8{,}45}{2\times 1{,}8} = \frac{11{,}2 \pm 8{,}45}{3{,}6}$$
Cálculos:
$$t_{1} = \frac{11{,}2 - 8{,}45}{3{,}6} = \frac{2{,}75}{3{,}6} \approx 0{,}7639$$ $$t_{2} = \frac{11{,}2 + 8{,}45}{3{,}6} = \frac{19{,}65}{3{,}6} \approx 5{,}4583$$
Redo
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Trayectorias de Drones
Klíčové pojmy: Función cuadrática: $f(x)=ax^{2}+bx+c$ y parábola, Evaluar $h(t)$: calcular $t^{2}$, multiplicar coeficientes, sumar, Ceros: factorizar o usar fórmula cuadrática $t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$, Descartar soluciones con $t<0$ o $h<0$ por no físicas, Intersección entre trayectorias: igualar funciones y resolver, Discriminante $\Delta=b^{2}-4ac$ determina número de soluciones reales, Comparar coeficientes permite interpretar velocidad de ascenso/descenso, Redondear resultados a dos decimales para reportes prácticos, Verificar coherencia física de soluciones (altura no negativa), Usar factorización rápida cuando aparece factor $t$ común