Resumen de Filosofía de la Ciencia: Inductivismo y Falsacionismo

## Introducción Los sistemas axiomáticos son estructuras formales que organizan un conjunto de enunciados (fórmulas bien formadas, fbf) partiendo de unos enunciados básicos llamados **axiomas** y aplicando **reglas de inferencia** para obtener nuevos enunciados llamados **teoremas**. Estos sistemas permiten separar la estructura lógica de una teoría de su contenido fáctico, facilitando el estudio riguroso de propiedades como consistencia, independencia y completitud. > Definición: Un sistema axiomático es un conjunto formado por términos primitivos, axiomas y reglas de transformación que determinan qué enunciados pueden deducirse. ## Componentes esenciales ### Términos y relaciones primitivas - Son los elementos que no se definen dentro del sistema (por ejemplo: P, Q, la relación "incide"). - Las definiciones dentro del sistema se construyen a partir de esos términos. > Definición: Términos primitivos son las palabras o símbolos cuya interpretación no se da dentro del sistema, y forman la base del lenguaje formal. ### Axiomas - Enunciados aceptados sin demostración dentro del sistema. - Se eligen como punto de partida convencional. > Definición: Axioma es una fbf tomada como base del sistema, no demostrada dentro de él. ### Reglas de transformación (o inferencia) - Indican qué pasos deductivos están permitidos (p. ej., modus ponens, modus tollens). - Presuponen una lógica subyacente (habitualmente la lógica clásica). > Definición: Regla de inferencia es un procedimiento permitido que transforma unas fbf en otras preservando validez deductiva. ### Teoremas - Son las fbf que se deducen de los axiomas mediante las reglas de transformación. > Definición: Teorema es una fbf demostrable a partir de los axiomas y reglas del sistema. ## Propiedades importantes de los sistemas axiomáticos Use la siguiente tabla para comparar las propiedades clave: | Propiedad | Significado | Consecuencia práctica | |---|---:|---| | Consistencia | No se deduce ninguna contradicción (no hay $E$ y $\neg E$ ambos teorema) | Evita que cualquier fbf sea teorema; sistema útil | | Inconsistencia | Se deduce alguna contradicción (existen $E$ y $\neg E$ teoremas) | Desde una contradicción se deduce cualquier fbf; sistema pierde utilidad | | Independencia | Ningún axioma es deducible de los demás | Evita redundancias; simplifica la lista de axiomas | | Completitud | Para cualquier fbf, o bien ella o su negación es teorema | En sistemas consistentes: distingue todo enunciado; en inconsistentes: trivialmente completa | | Modelo | Una interpretación fáctica que hace verdaderos a todos los axiomas | Garantiza que el sistema sea satisfacible fácticamente | ### Consistencia vs Completeness (completitud) - Un sistema es **completo** si para toda fbf $E$ o $E$ o $\neg E$ es teorema. - Un sistema consistente y completo satisface: para cada fbf, o bien es teorema, o bien su negación lo es, pero no ambas. - Un sistema inconsistente es también completo en el sentido lógico porque en él todas las fbf y sus negaciones son teoremas (esto no es deseable). > Definición: Sistema consistente es aquel en que no existe ninguna fbf $E$ tal que tanto $E$ como $\neg E$ sean teoremas. ## Modelos e interpretaciones - Una interpretación asigna significados fácticos a los términos primitivos (por ejemplo: P = "niño", Q = "años de edad", "incide" = "estar en la sala"). - Si bajo esa interpretación todos los axiomas resultan verdaderos en el mundo fáctico, la interpretación es un **modelo** del sistema. - Formalizar una teoría fáctica produce su esqueleto lógico, útil para análisis riguroso. > Definición: Modelo es una interpretación que hace verdaderos a todos los axiomas de un sistema. Fun fact: ¿Sabías que un sistema axiomático inconsistente permite derivar cualquier enunciado porque a partir de una contradicción $p \land \neg p$ se puede deducir arbitrariamente cualquier fórmula $q$? ## Ejemplos explicativos (versión simplificada y comentada) 1) Sistema (consistente e inc