Test sobre Examen Resuelto de Cálculo Diferencial e Integral

Pregunta 1: Para una caja con base cuadrada y sin tapa, construida con 1200 cm² de material, el mayor volumen posible es 4000 cm³.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Si x es la medida de un lado de la base y h la medida de la altura, la superficie es 1200 = x² + 4xh y el volumen es V = x²h. Reemplazando h = (1200 - x²) / (4x) en la ecuación del volumen, se obtiene V(x) = x(1200 - x²)/4. Al derivar V(x) para encontrar los números críticos, V'(x) = 300 - (3/4)x², y al igualar a cero se obtiene x = 20 (ya que x > 0). Evaluando V(20) se obtiene un volumen de 4000 cm³, que es el mayor volumen posible según el criterio de la segunda derivada V''(20) = -(3/2)20 < 0.

Pregunta 2: Según los materiales de estudio, ¿cómo se determinan los valores de mínimo y máximo absoluto de una función continua y derivable en un intervalo cerrado?

A. Se evalúa la función solo en los extremos del intervalo.

B. Se buscan los números críticos de la función (donde la primera derivada es cero) y se evalúa la función en ellos y en los extremos del intervalo.

C. Se calcula la segunda derivada de la función para encontrar los puntos de inflexión.

D. Se evalúa la función únicamente en los puntos donde la primera derivada es cero.

Explicación: Los materiales de estudio indican que 'Los valores extremos de f, por ser continua y derivable en un cerrado, se obtienen en sus números críticos o en los extremos del intervalo.' Por lo tanto, es necesario identificar los números críticos y evaluar la función en estos puntos y en los extremos del intervalo para encontrar los valores mínimos y máximos absolutos.

Pregunta 3: Para minimizar la cantidad de material para un contenedor rectangular sin tapa superior con volumen de 50 m³ y altura el doble del ancho de la base, el ancho de la base debe ser 5 metros.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según los materiales de estudio, el número crítico para minimizar el área es x₀ = 5/2. Por lo tanto, el ancho de la base debe ser 5/2 metros, no 5 metros.

Pregunta 4: El volumen de un tronco de cono circular recto con altura h=4, radio de la base inferior R=3 y radio de la parte superior r=2 se calcula mediante la integral 2π ∫ 3 2 (4x - 12) dx + π(2)^2 ⋅ 4.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según los materiales, el volumen del tronco se calcula mediante la integral 2π ∫ 3 2 x ( − 4 x + 12 ) dx + π (2) 2 ⋅ 4, no 2π ∫ 3 2 (4x - 12) dx + π(2)^2 ⋅ 4. La función dentro de la integral está mal formulada en la pregunta.

Pregunta 5: Para calcular el volumen de un sólido que resulta al rotar la región R, encerrada por la circunferencia (x - 2)^2 + y^2 = 1, en torno al eje Y, se utiliza la curva que define la parte superior de la circunferencia. ¿Cuál es esta curva?

A. y = √(1 - x^2)

B. y = √(1 - (x - 2)^2)

C. y = x^2 - 2x + 1

D. y = 1 - x^2

Explicación: Según los materiales de estudio, para la rotación de la región R (circunferencia (x - 2)^2 + y^2 = 1) en torno al eje Y, la curva que define la parte superior de la circunferencia está dada por y = √(1 - (x - 2)^2).