Tarjetas de Examen Resuelto de Cálculo Diferencial e Integral
Examen Resuelto de Cálculo Diferencial e Integral: Guía Completa
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Cálculo diferencial e integral: Fundamentos
31 tarjetas
Tarjeta 1
Pregunta: Dada la relación implícita y + sin(y) = x^2 con y(0)=0, ¿cómo se obtiene una ecuación para y'' a partir de derivar implícitamente dos veces?
Respuesta: Derivar una vez: y' + cos(y)·y' = 2x ⇒ (1+cos(y))y' = 2x. Derivar otra vez y aplicar producto y regla de la cadena: y'' + ( -sin(y) (y')^2 + cos(y) y'
Tarjeta 2
Pregunta: Usando la ecuación (1+cos(y))y'' - sin(y)(y')^2 = 2 y(0)=0, y'(0)=? y''(0)=? ¿Cuál es y''(0)?
Respuesta: En x=0, y(0)=0 ⇒ sin(0)=0, cos(0)=1. De la primera derivada: (1+cos y)y' = 2x ⇒ en 0: 2·y'(0)=0 ⇒ y'(0)=0. Sustituyendo en la segunda ecuación: (1+1)y
Tarjeta 3
Pregunta: En el problema de los carros con cuerda y polea: ¿qué relación establecemos entre x (distancia horizontal de A a Q) e y (distancia horizontal de B a Q
Respuesta: √(x^2+144)+√(y^2+144)=33.
Tarjeta 4
Pregunta: Al diferenciar respecto al tiempo la relación √(x^2+144)+√(y^2+144)=33, ¿qué ecuación relaciona x, x', y y y'?
Respuesta: x x' / √(x^2+144) + y y' / √(y^2+144) = 0.
Tarjeta 5
Pregunta: Si A se mueve alejándose de Q a velocidad x' = 2 m/s y en el instante AQ = 5 m (x = -5), ¿cómo se calcula la velocidad y' de B hacia Q?
Respuesta: Calcular longitudes: √(5^2+12^2)=13 ⇒ la otra cuerda mide 33-13=20 ⇒ y satisface √(y^2+144)=20 ⇒ y=16. Sustituir en la relación diferenciada: (-5)(2)/
Tarjeta 6
Pregunta: Al evaluar la velocidad de B obtenida y' = -25/26 m/s, ¿qué significado físico tiene el signo negativo?
Respuesta: Indica que la posición y(t) disminuye; es decir, el carro B se mueve hacia Q (acercándose al punto cero definido en Q).
Tarjeta 7
Pregunta: Para la integral ∫_0^2 x^2 √(4-x^2) dx, ¿qué cambio de variable se usa y cuál es el resultado final?
Respuesta: Usar x=2 sin t (u=2 sin t). Se obtiene finalmente ∫ = π.
Tarjeta 8
Pregunta: Calcule ∫_0^1 x arctan(x) dx: ¿qué técnica se usa y cuál es el resultado?
Respuesta: Integración por partes con u=arctan x, v' = x. Resultado: π/4 - 1/2.
Tarjeta 9
Pregunta: Para ∫ 1 (x+1)(x^2+1) dx (límite superior no especificado en el extracto), ¿cómo se descompone la fracción parcial y cuáles son los coeficientes A, B,
Respuesta: 1/((x+1)(x^2+1)) = A/(x+1) + (Bx+C)/(x^2+1). Resolviendo: A=1/2, B=-1/2, C=1/2.
Tarjeta 10
Pregunta: Al integrar con fracciones parciales 1/((x+1)(x^2+1)), ¿qué integrales elementales aparecen que deben calcularse?
Respuesta: Se requiere ∫ dx/(x+1), ∫ x dx/(x^2+1), y ∫ dx/(x^2+1), cuyos resultados son ln|x+1|, (1/2)ln(x^2+1), y arctan x respectivamente.