Resumen de Examen Resuelto de Cálculo Diferencial e Integral

## Introducción El objetivo de este material es reunir los fundamentos de **cálculo diferencial e integral** que todo estudiante universitario necesita dominar: límites, derivadas (incluida la diferenciación implícita y aplicaciones como la velocidad relacionada), reglas de derivación, extremos y optimización, integrales y técnicas básicas de integración. Se presentan definiciones, ejemplos resueltos, aplicaciones y criterios de verificación para problemas típicos de examen. > Definición: El cálculo diferencial estudia la variación instantánea de funciones mediante la derivada; el cálculo integral estudia la acumulación y el área mediante integrales. ## 1. Límites: concepto y técnicas ### ¿Qué es un límite? El límite describe el comportamiento de una función cuando la variable independiente se acerca a un valor dado. Se escribe $\lim_{x\to a} f(x)$. > Definición: Decimos que $\lim_{x\to a} f(x)=L$ si los valores de $f(x)$ se acercan arbitrariamente a $L$ cuando $x$ se aproxima a $a$. ### Técnicas comunes - Sustitución directa cuando la función está definida en el punto. - Racionalización para expresiones con raíces, por ejemplo racionalizar $\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$. - Cambio de variable, por ejemplo $u=2x$ en límites que involucran $\cos(2x)$. - Regla de L'Hôpital cuando el límite presenta formas indeterminadas $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Ejemplo resuelto: Calcular $\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$. Racionalizamos: $$\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\cdot\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}=\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}$$ Sustituyendo $x=1$: $$\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{1}{2}$$ Did you know que $\lim_{x\to 0} \frac{\cos(2x)-1}{x^2}=-2$? Esto se obtiene con el cambio $u=2x$ y la identidad conocida $\lim_{u\to 0} \frac{\cos u -1}{u^2}=-\tfrac{1}{2}$. ## 2. Derivadas: reglas y aplicaciones ### Definición > Definición: La derivada de $f$ en $x=a$ es $f'(a)=\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, si existe. ### Reglas básicas - Derivada de suma y constante: $(f+g)'=f'+g'$, $(c\cdot f)'=c\cdot f'$. - Potencias: $(x^n)'=n x^{n-1}$. - Producto e inverso: use las fórmulas estándar. - Cadena: $(f\circ g)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$. ### Derivación implícita Cuando $y$ está definida por una ecuación que relaciona $x$ e $y$, diferenciamos ambos lados respecto de $x$ y resolvemos para $y'$. Ejemplo: Si $y+\sin(y)=x^2$ y $y(0)=0$, hallar $y''(0)$. Diferenciando implícitamente: $$1+\cos(y)\,y' = 2x$$ De donde: $$y'=\frac{2x-1}{\cos(y)}$$ Evaluando en $x=0$, $y(0)=0$: $$1+\cos(0)\,y'(0)=0\Rightarrow 1+1\cdot y'(0)=0\Rightarrow y'(0)=-1$$ Diferenciando nuevamente (derivada de la ecuación original diferenciada): $$-\sin(y)(y')^2 + \cos(y)\,y'' = 2$$ Evaluando en $x=0$, $y=0$, $y'(0)=-1$: $$-\sin(0)\cdot (-1)^2 + \cos(0)\,y''(0)=2\Rightarrow 0 + 1\cdot y''(0)=2\Rightarrow y''(0)=2$$ ### Aplicación: tasas relacionadas (Related rates) Modelamos longitudes y relaciones geométricas entre variables dependientes del tiempo, derivamos la relación y evaluamos velocidades. Ejemplo clásico (resumido): Dos carros A y B están conectados por una soga de longitud 33 m que pasa por una polea P. Si $x(t)$ es la posición de A medida desde Q y $y(t)$ la posición de B, y la distancia vertical hasta P es 12 m, la relación es $$\sqrt{x^2+12^2}+\sqrt{y^2+12^2}=33$$ Derivando respecto de $t$: $$\frac{x\,x'}{\sqrt{x^2+144}}+\frac{y\,y'}{\sqrt{y^2+144}}=0$$ Si $x=-5$ (A alejado 5 m de Q) y $x'=2\ \mathrm{m/s}$ (alejándose), entonces la primera cuerda mide $13$ m, la otra mide $20$ m y $y=16$. Sustituyendo se obtiene $y'=-\tfrac{25}{26}\ \mathrm{m/s}$. Fun fact: Aplicaciones de tasas relacionadas incluyen problemas reales como movimiento de sombras, drenaje de tanques y velocidad de reacción en cadenas cinemáticas. ## 3. Regla de L'Hôpital y límites indeterminados - Cuando $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ da $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, se puede aplicar L'Hôpital si $f$ y $g$ son diferenciab