Resumen de Estadística Descriptiva, Combinatoria y Probabilidad

## Introducción La probabilidad estudia la posibilidad de que ocurran sucesos en un experimento aleatorio. En esta unidad nos enfocamos en los **sucesos** y las **operaciones entre sucesos** (unión, intersección, diferencia, complemento, etc.). Comprender estas operaciones permite describir y razonar sobre eventos complejos a partir de eventos simples. > Definición: Un suceso es un subconjunto del espacio muestral $S$. La probabilidad asigna a cada suceso un número real en el intervalo $[0,1]$ que mide su posibilidad de ocurrencia. ## 1. Espacio muestral y suceso - Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento, denotado $S$. - Suceso: cualquier subconjunto de $S$. > Definición: El suceso seguro es el espacio muestral $S$. El suceso imposible es el conjunto vacío $\varnothing$. Ejemplo práctico: En familias con tres hijos el espacio muestral es $$S = \{(V,V,V),(V,V,M),(V,M,V),(V,M,M),(M,V,V),(M,V,M),(M,M,V),(M,M,M)\}$$ Aquí $V$ = varón, $M$ = mujer. ## 2. Tipos de sucesos - Sucesos compatibles: pueden ocurrir simultáneamente ($A\cap B \neq \varnothing$). - Sucesos incompatibles (mutuamente excluyentes): no pueden ocurrir simultáneamente ($A\cap B = \varnothing$). - Suceso contenido: $A$ está contenido en $B$ si $A\subset B$; entonces $A\cap B = A$ y $A\cup B = B$. - Suceso contrario o complemento: dado $A$, su complemento es $\overline{A}=S\setminus A$ y cumple $A\cup\overline{A}=S$, $A\cap\overline{A}=\varnothing$. > Definición: Sucesos incompatibles son aquellos cuya intersección es $\varnothing$. Tabla comparativa: tipos de sucesos | Concepto | Condición | Ejemplo (lanzar un dado) | |---|---:|---| | Compatibles | $A\cap B \neq \varnothing$ | $A=\{1,2,3\}$, $B=\{2,4,6\}$ | | Incompatibles | $A\cap B=\varnothing$ | $P=\{2,4,6\}$, $I=\{1,3,5\}$ | | Complemento | $A\cup\overline{A}=S$ | $A=\{1,2\}$, $\overline{A}=\{3,4,5,6\}$ | | Contención | $A\subset B$ | $A=\{2\}$, $B=\{1,2,3\}$ | Fun fact: ¿Sabías que la noción formal de evento imposible y seguro facilita la aritmética de la probabilidad porque $P(\varnothing)=0$ y $P(S)=1$? ## 3. Operaciones con sucesos Presentamos las operaciones más importantes y su interpretación. ### 3.1 Unión - Definición: $A\cup B$ ocurre si ocurre $A$ o $B$ o ambos. - Propiedades: - Conmutativa: $A\cup B = B\cup A$. - Asociativa: $(A\cup B)\cup C = A\cup(B\cup C)$. - Si $A\cap B = \varnothing$, entonces $A\cup B$ contiene todos los casos favorables a $A$ o a $B$. Ejemplo: En el dado, si $A=\{1,2,3\}$ y $B=\{3,4\}$, entonces $A\cup B = \{1,2,3,4\}$. ### 3.2 Intersección - Definición: $A\cap B$ ocurre si ocurren simultáneamente $A$ y $B$. - Propiedades: - Conmutativa: $A\cap B = B\cap A$. - Asociativa: $(A\cap B)\cap C = A\cap(B\cap C)$. - Si $A\subset B$ entonces $A\cap B = A$. Ejemplo: Para las tres hijas, $A=$ “la menor es mujer” corresponde a todos los tripletes cuyo tercer componente es $M$. ### 3.3 Diferencia - Definición: $A\setminus B$ (también $A-B$) es el suceso formado por los puntos de $A$ que no están en $B$. - Propiedad: $A\setminus B = A\cap\overline{B}$. Ejemplo: En el dado, si $A=\{1,2,3\}$ y $B=\{2,3\}$, entonces $A\setminus B=\{1\}$. ### 3.4 Diferencia simétrica - Definición: $A\triangle B = (A\setminus B)\cup(B\setminus A) = (A\cap\overline{B})\cup(B\cap\overline{A})$. - Interpreta los resultados que pertenecen a exactamente uno de los sucesos. ### 3.5 Complemento - Definición: $\overline{A}=S\setminus A$. Representa "no ocurre $A$". - Propiedades: Leyes de De Morgan - $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$ - $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ Fun fact: ¿Sabías que las leyes de De Morgan son fundamentales en lógica y en álgebra de conjuntos y se usan también en diseño de circuitos eléctricos para simplificar expresiones? ## 4. Ejemplos resueltos y preguntas tipo 1) Familias con tres hijos (espacio muestral indicado arriba). Sea $A$ = "la menor es mujer". Entonces $$A = \{(V,V,M),(V,M,M),(M,