Test sobre Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales

Pregunta 1: La propiedad distributiva del producto de un escalar con respecto a la suma de reales establece que α(u + v) = αu + αv para cualquier escalar α y vectores u, v de R^n.

A. Ano

B. Ne

Explicación: La propiedad distributiva del producto de un escalar con respecto a la suma de reales se expresa como (α + β)u = αu + βu, según P4 en las propiedades de los vectores de R^n. La expresión α(u + v) = αu + αv corresponde a la propiedad distributiva con respecto a la suma de vectores.

Pregunta 2: Según el material de estudio, ¿cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente la dimensión de un espacio vectorial E?

A. Es el número total de vectores que pueden generarse en el espacio E.

B. Es el número máximo de vectores linealmente independientes en E, equivalente al número de vectores en una base de E.

C. Es siempre igual al número de restricciones linealmente independientes que definen el espacio vectorial.

D. Es el número de vectores en un conjunto generador, incluso si no son linealmente independientes.

Explicación: La definición establece que 'La dimensión de un espacio vectorial E es el número máximo de vectores linealmente independientes en E, lo cual equivale al número de vectores en una base de E'. Las otras opciones no corresponden a esta definición; la dimensión se relaciona con la independencia lineal y la base, no con el número total de vectores generados, el número de restricciones o conjuntos generadores no linealmente independientes.

Pregunta 3: El núcleo de una matriz A, también llamado espacio nulo, es el mismo subespacio que el espacio columna de A.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según el material, el núcleo de una matriz A se llama espacio nulo y es el subespacio de vectores x tales que Ax=0. La imagen de una matriz A, que también se conoce como espacio columna, es el subespacio de todos los vectores que pueden ser representados como Ax para algún x ∈ Rⁿ, por lo tanto, no son el mismo subespacio.

Pregunta 4: Según el material de estudio, ¿cuáles de las siguientes propiedades se cumplen para el producto de un número real (escalar) α y una matriz A?

A. α(βA) = (αβ)A

B. 1A = A

C. (α + β)A = αA + βA

D. A + B = B + A

Explicación: La propiedad α(βA) = (αβ)A se muestra en E7. La propiedad 1A = A se demuestra en E8. La propiedad (α + β)A = αA + βA se presenta en E9. La propiedad A + B = B + A (E5) corresponde a la conmutatividad de la suma de matrices, no al producto escalar matricial.

Pregunta 5: Para determinar si un sistema de vectores de n vectores en ℝⁿ es una base de ℝⁿ, es suficiente con demostrar que el conjunto es linealmente independiente.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según el Teorema 10.6.2.1, "Todo sistema linealmente independiente de 𝒏 vectores de ℝ 𝒏 , es una base de ℝ 𝒏 ". Esto significa que no es necesario demostrar también que genera a ℝⁿ si ya se sabe que es linealmente independiente y tiene el número correcto de vectores para el espacio.