Tarjetas de Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales
Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales: Guía Completa
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Transformaciones lineales
24 tarjetas
Tarjeta 1
Pregunta: ¿Qué condiciones se deben verificar para demostrar que una aplicación T: ℝ^n → ℝ^m es una transformación lineal (menciona las dos propiedades)?
Respuesta: Aditividad: T(u+v)=T(u)+T(v). Homogeneidad: T(λu)=λT(u) para todo u,v y todo escalar λ.
Tarjeta 2
Pregunta: Dada T(x,y) = (x+y, x−y, x), ¿por qué es lineal según las propiedades?
Respuesta: Se comprueba aditividad aplicando T a u+v y mostrando que resulta T(u)+T(v), y homogeneidad aplicando T(λu) y comprobando que es λT(u). Las expresione
Tarjeta 3
Pregunta: ¿Qué es la matriz asociada a una transformación lineal T: ℝ^n → ℝ^m?
Respuesta: Es una matriz A de tamaño m×n tal que, respecto a las bases estándar de ℝ^n y ℝ^m, T(x)=A x para todo vector x en ℝ^n.
Tarjeta 4
Pregunta: ¿Cuáles son los pasos para encontrar la matriz asociada a una transformación lineal T con respecto a bases A en ℝ^n y B en ℝ^m?
Respuesta: 1) Identificar T. 2) Elegir la base de partida. 3) Calcular las imágenes de los vectores de la base de partida. 4) Expresar esas imágenes en la base d
Tarjeta 5
Pregunta: En el ejemplo T: ℝ^3 → ℝ^2 definida por T(x,y,z)=(2x−y+z, 3x−z), ¿cuál es la imagen de (1,0,0)?
Respuesta: T(1,0,0) = (2,3).
Tarjeta 6
Pregunta: En el mismo ejemplo, ¿cuáles son las imágenes de (0,1,0) y (0,0,1)?
Respuesta: T(0,1,0)=(-1,0) y T(0,0,1)=(1,-1).
Tarjeta 7
Pregunta: Si la base de llegada B en ℝ^2 es {(1,1),(0,1)}, ¿cómo se expresa (2,3) como combinación de esa base y qué coeficientes se obtienen?
Respuesta: Buscar a,b tales que a(1,1)+b(0,1)=(2,3). Se obtiene a=2 y b=1.
Tarjeta 8
Pregunta: ¿Cómo se obtiene la matriz asociada M(T; A, B) de una transformación lineal T: E → F respecto a una base A del espacio de partida y una base B del esp
Respuesta: Se calcula expresando las imágenes de los vectores de la base A mediante combinaciones lineales de los vectores de la base B; cada columna de la matri
Tarjeta 9
Pregunta: Si T: ℝ^3 → ℝ^2 y dim(ℝ^3)=3, dim(ℝ^2)=2, ¿qué orden tendrá la matriz asociada M(T; A, B)?
Respuesta: Tendrá orden 2×3 (m×n), es decir tantas filas como la dimensión del espacio de llegada (2) y tantas columnas como la dimensión del espacio de partida
Tarjeta 10
Pregunta: ¿Por qué elegir la base canónica simplifica hallar la matriz asociada a una transformación lineal?
Respuesta: Porque en la base canónica las coordenadas de un vector coinciden con sus componentes, evitando tener que resolver combinaciones lineales para cada im