Resumen de Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales
Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales: Guía Completa
Introducción
Los espacios vectoriales son estructuras algebraicas fundamentales que permiten sumar objetos (vectores) y multiplicarlos por escalares preservando propiedades intuitivas como asociatividad, conmutatividad y distributividad. En este material repasaremos los axiomas, combinaciones lineales, generadores, base y dimensión, subespacios y ejemplos prácticos con matrices y vectores en $ R^n$.
Definición: Un espacio vectorial real $E$ es un conjunto no vacío con dos operaciones (suma y multiplicación por escalares) que satisfacen diez axiomas: cierre, asociatividad, elemento neutro, inverso aditivo, conmutatividad para la suma; cierre para el producto por escalares, asociatividad combinada, elemento neutro multiplicativo, y dos propiedades distributivas.
1. Axiomas y propiedades básicas
Axiomas para la suma
- Cierre: si $u,v\in E$ entonces $u+v\in E$.
- Asociatividad: $(u+v)+w = u+(v+w)$.
- Elemento neutro: existe $0\in E$ tal que $u+0 = u$ para todo $u$.
- Opuesto: para cada $u$ existe $-u$ con $u+(-u)=0$.
- Conmutatividad: $u+v = v+u$.
Axiomas para el producto por escalares
- Cierre: si $\alpha\in\mathbb{R}$ y $u\in E$ entonces $\alpha u\in E$.
- Asociatividad: $\alpha(\beta u) = (\alpha\beta)u$.
- Elemento neutro: $1,u = u$.
- Distributividad sobre escalares: $(\alpha+\beta)u = \alpha u + \beta u$.
- Distributividad sobre vectores: $\alpha(u+v) = \alpha u + \alpha v$.
2. Combinación lineal y dependencia/independencia
Definición: Una combinación lineal de vectores $v_1,\dots,v_k$ es $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_k v_k$ con escalares $\lambda_i\in\mathbb{R}$.
- Un conjunto es linealmente independiente si la única combinación lineal que da el vector cero es la trivial ($\lambda_i=0$ para todo $i$).
- Es linealmente dependiente si existe una combinación no trivial que da cero.
Ejemplo práctico: considerar $B = {(1,1,2,-1),(0,1,-1,0),(1,0,1,1),(1,2,1,-1)}\subset\mathbb{R}^4$. La relación
$$\lambda_1(1,1,2,-1)+\lambda_2(0,1,-1,0)+\lambda_3(1,0,1,1)+\lambda_4(1,2,1,-1)=(0,0,0,0)$$
conduce al sistema lineal cuya matriz de coeficientes es
$$A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\1 & 1 & 0 & 2\2 & -1 & 1 & 1\-1 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}$$
y si $|A|=0$ entonces los vectores son linealmente dependientes.
3. Generadores y espacios generados
Definición: Un conjunto $G={v_1,\dots,v_k}$ genera un espacio vectorial $E$ si todo $v\in E$ puede escribirse como combinación lineal de los vectores de $G$. El espacio generado se denota $\mathrm{gen}{v_1,\dots,v_k}$.
- Ejemplo en matrices: el conjunto
$$M=\left{\begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\0&1\end{pmatrix}\right}$$
genera el espacio de todas las matrices $2\times2$ porque
$$\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0&0\1&0\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}0&0\0&1\end{pmatrix}.$$
- Subconjunto generador: $N={\begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\0&1\end{pmatrix}}$ genera solo las matrices diagonales $2\times2$.
Comparación rápida:
| Propiedad | Sistema $M$ (todas $2\times2$) | Sistema $N$ (diagonales) |
|---|---|---|
| Genera todo el espacio | Sí | No |
| Número de vectores | 4 | 2 |
| Capacidad de representar $\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$ | Sí | Solo si $b=c=0$ |
4. Base y dimensión
Definición: Una base de un espacio vectorial $E$ es un conjunto generador que además es linealmente independiente. La dimensión de $E$, denotada $\dim E$, es el número de vectores en cualquier base de $E$.
- En $\mathbb{R}^n$, la dimensión e
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Fundamentos espacios vectoriales
Klíčové pojmy: Un espacio vectorial cumple diez axiomas básicos (cinco para suma, cinco para producto por escalares)., Combinación lineal: $\lambda_1 v_1+\dots+\lambda_k v_k$ produce todos los vectores generados por un conjunto., Independencia lineal: la única solución a $\sum\lambda_i v_i=0$ es $\lambda_i=0$ si es independiente., Generador: $G$ genera $E$ si todo $v\in E$ es combinación lineal de $G$., Base: conjunto generador y linealmente independiente; su tamaño es la dimensión., Dimensión de $\mathbb{R}^n$ es $n$; dimensión de subespacio $S$ es $n-\text{(ec. independientes)}$., Para comprobar generación formarse la matriz con vectores como columnas y calcular el rango o determinante., Subespacio: contiene $0$, cerrado por suma y por multiplicación escalar.