Test sobre El Diferencial de una Función y Aplicaciones

Pregunta 1: La diferencial de una función (dy) se define como el producto de la función original f(x) por el incremento Δx de la variable independiente.

A. Ano

B. Ne

Explicación: La diferencial de una función dy se define como el producto de la derivada de la función f'(x) por el incremento Δx de la variable independiente, no por la función original f(x).

Pregunta 2: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones define correctamente cuándo una función y = f(x) es diferenciable en un punto x, según los materiales de estudio?

A. Δy = f'(x) ⋅ Δx + φ(x), siendo φ(x) un infinitésimo cuando Δx → 0.

B. Δy ≈ dy, lo cual es válido cuando Δx es muy pequeño.

C. dy = f'(x) ⋅ Δx.

D. La diferencial representa el incremento de la ordenada de la recta tangente a la curva.

Explicación: Según la Sección 3: Función Diferenciable, una función y = f(x) es diferenciable en un punto x si y solo si su incremento Δy se puede expresar como la suma de su diferencial dy y un infinitésimo φ(x), es decir, Δy = f'(x) ⋅ Δx + φ(x), donde φ(x) es un infinitésimo para Δx → 0.

Pregunta 3: El error relativo de una función se calcula dividiendo el valor de la función original (v) por su error propagado (dv).

A. Ano

B. Ne

Explicación: Para determinar el error relativo, se compara la diferencial (dv) con el valor de la función original (v), calculándose como dv/v, no v/dv.

Pregunta 4: La diferencial dy se utiliza para representar el error propagado (Δy) cuando el incremento Δx es muy pequeño.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Los materiales de estudio indican que si el incremento Δx es muy pequeño, la diferencial dy se considera una aproximación del error propagado Δy.

Pregunta 5: Según el ejemplo proporcionado sobre el cálculo del error propagado en el volumen de una caja cúbica, si el volumen está dado por la fórmula V(x) = x^3, el valor medido de la arista es 5 cm y la tolerancia del aparato de medición es |Δx| < 0.01 cm, ¿cuál es la estimación del error propagado en el volumen?

A. 0.75 cm^3

B. 0.006 cm^3

C. 125 cm^3

D. 0.01 cm^3

Explicación: Para estimar el error propagado, se calcula la diferencial del volumen. Si V(x) = x^3, entonces la diferencial dv = 3x^2 dx. Sustituyendo los valores dados, x = 5 cm y dx (que es aproximadamente Δx) = 0.01 cm, obtenemos dv = 3 * (5)^2 * 0.01 = 3 * 25 * 0.01 = 75 * 0.01 = 0.75 cm^3.