Resumen de El Diferencial de una Función y Aplicaciones

## Introducción Breve repaso: en mediciones y cálculos aplicados es fundamental estimar cómo los errores en los datos afectan el resultado. Este material explica cómo usar aproximaciones lineales y herramientas relacionadas para estimar errores propagados, error relativo y error porcentual. Se muestran ejemplos y aplicaciones prácticas pensadas para estudiantes que estudian de forma no presencial. > **Definición:** El **error propagado** es la estimación del cambio en una cantidad calculada debido a pequeñas variaciones en las medidas de entrada. El **error relativo** es la razón entre el error absoluto y el valor calculado. El **error porcentual** es el error relativo multiplicado por 100. ## Conceptos básicos y notación - Valor medido: $x$. - Incertidumbre (error absoluto) de la medida: $\Delta x$. - Cantidad calculada a partir de $x$: $f(x)$. - Error propagado aproximado: $\Delta f \approx f(x+\Delta x) - f(x)$, que para pequeñas variaciones se estima con la aproximación lineal. > **Definición:** La **aproximación lineal** reemplaza la variación real por la variación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto conocido. Sirve para estimar $f(x+\Delta x)$ cuando $\Delta x$ es pequeño. ### Fórmulas útiles (recordar usar con precaución) - Error propagado aproximado: $$\Delta f \approx f'(x)\,\Delta x$$ - Error relativo: $$\text{error relativo} = \dfrac{\Delta f}{f(x)}$$ - Error porcentual: $$\text{error porcentual} = 100\cdot \dfrac{\Delta f}{f(x)}$$ Tabla comparativa: conceptos relacionados | Concepto | Símbolo | Descripción breve | |---|---:|---| | Error absoluto | $\Delta x$ | Incertidumbre en la medida de entrada | | Error propagado | $\Delta f$ | Incertidumbre en la cantidad calculada | | Error relativo | $\dfrac{\Delta f}{f}$ | Error absoluto dividido por el valor calculado | | Error porcentual | $100\cdot\dfrac{\Delta f}{f}$ | Error relativo en porcentaje | ## Procedimiento para estimar errores propagados (paso a paso) 1. Identificar la función $f(x)$ que relaciona la medida con la magnitud buscada. 2. Evaluar $f$ en el valor medido $x$ para obtener $f(x)$. 3. Calcular la derivada $f'(x)$ en el punto $x$. 4. Multiplicar $f'(x)$ por la incertidumbre $\Delta x$ para obtener la estimación del error propagado: $\Delta f \approx f'(x)\,\Delta x$. 5. Calcular el error relativo y el porcentual con las fórmulas anteriores. ### Recomendaciones - La aproximación es válida si $\Delta x$ es pequeño frente a $x$. - Para funciones no lineales y errores relativamente grandes conviene considerar términos de orden superior o métodos numéricos. ## Ejemplos resueltos ### Ejemplo 1 — Volumen de una esfera (propagación de errores) Problema: La medida del radio de una bolilla es $x=0{,}7\ \mathrm{cm}$ con incertidumbre $\Delta x=0{,}01\ \mathrm{cm}$. Estimar el volumen y su error propagado, el error relativo y el porcentual. La fórmula del volumen de esfera es: $$V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}$$ Cálculo del volumen en $r=0{,}7$: $$V(0{,}7)=\dfrac{4}{3}\pi\,(0{,}7)^{3}$$ Si se desea un valor numérico aproximado, se puede evaluar la expresión; aquí mantendremos la forma simbólica y luego un valor: $$V(0{,}7)=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 0{,}343 = 0{,}4573\,\pi\ \mathrm{cm^{3}}$$ Derivada respecto a $r$: $$\dfrac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$$ Error propagado aproximado: $$\Delta V \approx \dfrac{dV}{dr}\Big|_{r=0{,}7}\,\Delta r = 4\pi\,(0{,}7)^{2}\cdot 0{,}01$$ Evaluando: $$4\pi\,(0{,}7)^{2}\cdot 0{,}01 = 4\pi\cdot 0{,}49\cdot 0{,}01 = 0{,}0196\,\pi\ \mathrm{cm^{3}}$$ Error relativo: $$\dfrac{\Delta V}{V} = \dfrac{0{,}0196\,\pi}{0{,}4573\,\pi} = \dfrac{0{,}0196}{0{,}4573} \approx 0{,}0429$$ Error porcentual: $$100\cdot 0{,}0429 \approx 4{,}29\%$$ Interpretación: la incertidumbre en el volumen es aproximadamente $0{,}0196\,\pi\ \mathrm{cm^{3}}$ y representa cerca del $4{,}29\%$ del volumen calculado. Did you know que al duplicar el radio de una esfera su volumen se multiplica por $2^{3}=8$? Esto muestra cómo pequeñas variaciones en variable