El Diferencial de una Función y Aplicaciones: Guía Completa
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Pregunta: ¿Cómo se demuestra que f(x)=3x^2 es diferenciable en cualquier punto de su dominio según el ejemplo dado?
Respuesta: Calcular Δy=f(x+Δx)-f(x)=3(x+Δx)^2-3x^2=6xΔx+3Δx^2. Escribir Δy=f'(x)Δx+φ(x) con f'(x)=6x y φ(x)=3Δx^2. Como lim_{Δx→0}φ(x)=0, φ es infinitésimo y por
Pregunta: En el ejemplo f(x)=x^2+2x con x=3 y Δx=0,01, ¿cuál es Δy y cuál es dy y cómo se comparan?
Respuesta: Δy=[(x+Δx)^2+2(x+Δx)]-[x^2+2x]=2xΔx+Δx^2+2Δx → con x=3, Δx=0,01 obtenemos Δy=0,0801. dy=f'(x)Δx=(2x+2)Δx=(8)·0,01=0,08. Se observa Δy≈dy (muy cercanos
Pregunta: ¿Qué igualdad se obtiene para la diferencial de la variable independiente al usar la función identidad y= x?
Respuesta: Para y=x, f'(x)=1 y la diferencial es dy=f'(x)·Δx=Δx. Llamando dx a Δx se tiene dx=Δx, es decir la diferencial de la variable independiente es igual a
Pregunta: ¿Cómo se expresa la diferencial de una función en notación cuando se sustituye Δx por dx?
Respuesta: Se expresa como dy=f'(x)dx.
Pregunta: ¿Cuál es la diferencial de y=cos x según el contenido?
Respuesta: dy = -sen(x)·dx.
Pregunta: Según el texto, ¿qué relación tiene la diferencial con el cálculo del error propagado cuando Δx es muy pequeño?
Respuesta: Si Δx es muy pequeño entonces Δy≈dy, por lo que la diferencial dy se puede usar para estimar el error propagado Δy.
Pregunta: En palabras simples, ¿qué representa Δy y qué representa dy en el contexto de incrementos y diferenciales?
Respuesta: Δy es el incremento real de la función al cambiar x por x+Δx (f(x+Δx)-f(x)). dy es la aproximación lineal al incremento dada por f'(x)Δx (o f'(x)dx),