Resumen de Ejercicios Fundamentales de Funciones y Líneas

## Introducción La geometría analítica y las funciones lineales conectan la representación algebraica de rectas con su interpretación geométrica y aplicaciones económicas sencillas. En este material repasaremos cómo obtener ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares, hallar intersecciones, y modelar oferta y demanda lineales, con ejemplos resueltos paso a paso. > Definición: Una **recta** en el plano cartesiano se puede representar por una ecuación lineal de la forma $ax + by + c = 0$, donde $a$, $b$, $c$ son constantes y $a$ y $b$ no son simultáneamente cero. ## 1. Rectas: pendiente, paralelo y perpendicular ### Pendiente y forma de la ecuación - Si la ecuación de la recta está en la forma general $$ax + by + c = 0$$ entonces la **pendiente** (coeficiente director) es $$m = -\frac{a}{b}$$ siempre que $b \neq 0$. - La forma pendiente-ordenada es $$y = mx + n$$ donde $m$ es la pendiente y $n$ la ordenada al origen. > Definición: Dos rectas son **paralelas** si tienen la misma pendiente. Dos rectas son **perpendiculares** si el producto de sus pendientes es $-1$. ### Cómo construir rectas paralelas y perpendiculares 1. Recta paralela a $$y = m x + n$$ que pase por $(x_0,y_0)$: $$y = m x + (y_0 - m x_0)$$. 2. Recta perpendicular a $$y = m x + n$$ que pase por $(x_0,y_0)$: la pendiente será $m_{\perp} = -\frac{1}{m}$, y la ecuación es $$y = m_{\perp} x + (y_0 - m_{\perp} x_0)$$. ## 2. Ejemplo práctico con la recta dada Dada la recta $$R: \frac{1}{2}x + y - 2 = 0$$ Primero escribimos $R$ en forma pendiente-ordenada. Despejamos $y$: $$\frac{1}{2}x + y - 2 = 0$$ $$y = -\frac{1}{2}x + 2$$ Por tanto la pendiente de $R$ es $$m_R = -\frac{1}{2}$$. ### a) Recta $S$ perpendicular a $R$ que pasa por $P(1; -5)$ - Pendiente de $S$: $$m_S = -\frac{1}{m_R} = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2$$ - Ecuación usando la forma punto-pendiente: $$y = 2x + b$$ y sustituyendo $P(1,-5)$: $$-5 = 2\cdot 1 + b$$ $$b = -7$$ Ecuación de $S$: $$y = 2x - 7$$ Equivalente en forma general: $$-2x + y + 7 = 0$$ ### b) Hallar $x$ si $C(x;4)$ pertenece a $R$ Sustituimos $y=4$ en la ecuación de $R$ en forma pendiente-ordenada o general. Usando $$y = -\frac{1}{2}x + 2$$: $$4 = -\frac{1}{2}x + 2$$ Restamos 2: $$2 = -\frac{1}{2}x$$ Multiplicamos por $-2$: $$x = -4$$ Por tanto $C(-4,4)$. ### c) Recta $P$ paralela a $R$ que pase por $A(3;2)$ - Pendiente de $P$ es la misma que la de $R$: $$m_P = -\frac{1}{2}$$ - Ecuación punto-pendiente: $$y = -\frac{1}{2}x + b$$ con $A(3,2)$: $$2 = -\frac{1}{2}\cdot 3 + b$$ $$2 = -\frac{3}{2} + b$$ $$b = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$$ Ecuación de $P$: $$y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$$ Forma general multiplicando por 2: $$x + 2y - 7 = 0$$ ### d) Intersección analítica de $R$ y $S$ Resolvemos el sistema formado por $$y = -\frac{1}{2}x + 2$$ $$y = 2x - 7$$ Igualamos ambas expresiones de $y$: $$-\frac{1}{2}x + 2 = 2x - 7$$ Sumamos $\frac{1}{2}x$ a ambos lados: $$2 = \frac{5}{2}x - 7$$ Sumamos 7: $$9 = \frac{5}{2}x$$ Multiplicamos por $\frac{2}{5}$: $$x = \frac{18}{5} = 3.6$$ Sustituimos en $y = 2x - 7$: $$y = 2\cdot \frac{18}{5} - 7$$ $$y = \frac{36}{5} - \frac{35}{5} = \frac{1}{5} = 0.2$$ Intersección: $$\left(\frac{18}{5},\,\frac{1}{5}\right)$$ ### e) Gráfica de las tres rectas - Resumen de ecuaciones en forma pendiente-ordenada: - $$R: y = -\frac{1}{2}x + 2$$ - $$S: y = 2x - 7$$ - $$P: y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$$ - Para graficar: tomar puntos clave como intersecciones con ejes y el punto dado para cada recta. (Ejemplo: $R$ corta al eje $y$ en $(0,2)$ y al eje $x$ en $(4,0)$.) Fun fact: ¿Sabías que la representación de rectas en forma vectorial y en forma implícita permite resolver problemas de intersección y distancias de forma más sistemática en espacios de mayor dimensión? ## 3. Oferta y demanda lineales (ejemplo económico) Se da la función de oferta indicada por la expresión: $$P = O(q) \cdot 2q + 4$$ Interpretación: parece que la oferta depende linealmente de la cantidad $q$ mediante una pendiente implícita;