Resumen de Ejercicios de Funciones en Cálculo

## Introducción Las funciones son reglas que asignan a cada valor de entrada $x$ (dominio) un único valor de salida $y=f(x)$ (codominio). En arquitectura y diseño, comprender dominio y recorrido permite saber qué dimensiones o resultados son admisibles y cómo se comportan las fórmulas que modelan áreas, costos y curvas. > Definición: El dominio de una función es el conjunto de valores de $x$ para los cuales la expresión de la función está definida. El recorrido (rango) es el conjunto de valores que toma $f(x)$ cuando $x$ recorre el dominio. ## Conceptos básicos ### Tipos de restricciones que afectan el dominio - División por cero: no se permiten valores que hagan al denominador igual a $0$. Ejemplo: $f(x)=\frac{1}{x-1}$, excluye $x=1$. - Radicales de índice par: el radicando debe ser mayor o igual a cero. Ejemplo: $f(x)=\sqrt{x-2}$ requiere $x-2\ge 0$. - Expresiones compuestas: combinar condiciones (intersección de dominios). > Definición: Una función está definida por su regla de correspondencia y su dominio. Dos funciones son iguales si tienen la misma regla y el mismo dominio. ### Cómo determinar el recorrido - Para funciones polinómicas simples, el recorrido puede ser todo $\mathbb{R}$ si grado impar o para cuadráticas depende del vértice. - Para radicales $\sqrt{\cdot}$ el recorrido típicamente comienza en el valor mínimo de la expresión dentro de la raíz transformada por la raíz. - Para fracciones racionales, el recorrido puede ser todo $\mathbb{R}$ salvo valores horizontales excluidos (evaluar asíntotas horizontales o valores no alcanzados). ## Reglas prácticas paso a paso 1. Identificar operaciones en la expresión: división, raíz par, logaritmo, valor absoluto. 2. Imponer las restricciones: denominadores ≠ 0, radicandos ≥ 0 para raíces pares. 3. Resolver desigualdades resultantes y escribir dominio en intervalos. 4. Para el recorrido, analizar comportamiento: extremos, límites cuando $x\to\pm\infty$, valores críticos. ## Ejemplos resueltos (prácticos) ### Ejemplo 1: $f(x)=2x-3$ - Dominio: todos los reales, $(-\infty,\infty)$. - Recorrido: todos los reales, $(-\infty,\infty)$. ### Ejemplo 2: $f(x)=\frac{1}{x-1}$ - Dominio: $x\ne 1$, es decir $(-\infty,1)\cup(1,\infty)$. - Recorrido: $y\ne 0$ (la función nunca toma $0$), es decir $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$. ### Ejemplo 3: $f(x)=\sqrt{x-2}-2$ - Dominio: $x-2\ge 0\Rightarrow x\ge 2$, es decir $[2,\infty)$. - Recorrido: la raíz mínima es $0$ en $x=2$, entonces $f_{min}=0-2=-2$, y crece hacia $\infty$, por tanto $[-2,\infty)$. ### Ejemplo 4: $f(x)=\sqrt{x^2-4}+1$ - Dominio: $x^2-4\ge 0\Rightarrow x\le -2$ o $x\ge 2$, es decir $(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$. - Recorrido: $\sqrt{x^2-4}\ge 0$ con mínimo $0$ alcanzado en $x=\pm 2$, por tanto $[1,\infty)$. ## Tablas comparativas | Tipo de expresión | Condición para el dominio | Ejemplo | Dominio típico | |---|---:|---|---| | Lineal | Ninguna | $2x-3$ | $(-\infty,\infty)$ | | Fracción | Denominador $\ne 0$ | $\frac{1}{x-4}$ | $(-\infty,4)\cup(4,\infty)$ | | Raíz par | Radicando $\ge 0$ | $\sqrt{x+3}$ | $x\ge -3$ | | Raíz en denominador | Radicando $>0$ (no puede ser 0) | $\frac{1}{\sqrt{2x-5}}$ | $x>\frac{5}{2}$ | | Composición | Intersección de condiciones | $\sqrt{\frac{9-x^2}{x+1}}$ | Resolver ambas restricciones | ## Aplicaciones en arquitectura (casos del enunciado) - Área de una base rectangular: si el ancho es $x$ y el largo es $x+4$, el área es $A(x)=x(x+4)=x^2+4x$. Dominio físico: $x>0$ (o $x\ge 0$ si se permite lado cero), normalmente $x>0$. - Costos: si hay un fijo $120000$ y $8500$ por metro cuadrado, $C(x)=120000+8500x$. Dominio físico: $x\ge 0$ y típicamente entero si se mide en m^2 discretos. ## Transformaciones de funciones - Traslación horizontal: $f(x-h)$ desplaza $h$ unidades a la derecha. - Traslación vertical: $f(x)+k$ desplaza $k$ unidades hacia arriba. - Reflexión: $-f(x)$ refleja respecto al eje $x$, $f(-x)$ refleja respecto al eje $y$. - Estiramiento/compresión vertical: $a f(x)$