Test sobre Ecuaciones de Rectas y Planos en 3D
Ecuaciones de Rectas y Planos en 3D: Guía Completa para Estudiantes
Test: Geometría analítica tridimensional
20 preguntas
Pregunta 1: El punto P(4; 1; 0) pertenece a la recta R: x = 1 + "lambda", y = 1 + 2"lambda", z = -1 + "lambda".
A. Ano
B. Ne
Explicación: Para determinar si el punto P(4; 1; 0) pertenece a la recta R, se sustituyen las coordenadas de P en las ecuaciones paramétricas de R. Si 4 = 1 + "lambda", 1 = 1 + 2"lambda" y 0 = -1 + "lambda" producen un mismo valor de "lambda" en las tres ecuaciones, entonces el punto pertenece a la recta. Resolviendo para "lambda": De la primera ecuación, 4 = 1 + "lambda" => "lambda" = 3. De la segunda ecuación, 1 = 1 + 2"lambda" => 2"lambda" = 0 => "lambda" = 0. De la tercera ecuación, 0 = -1 + "lambda" => "lambda" = 1. Dado que los valores de "lambda" obtenidos son diferentes (3, 0 y 1), el punto P(4; 1; 0) no pertenece a la recta R.
Pregunta 2: Es posible hallar la ecuación de un plano paralelo a otro plano dado si se conoce un punto por el que pasa el plano buscado.
A. Ano
B. Ne
Explicación: El ejercicio 1.b de la sección de Planos pide hallar la ecuación de un plano 'paralelo al anterior que pasa por (3; 1; 2)', y el ejercicio 4 pide hallar la ecuación de un 'plano paralelo al anterior que contiene al punto (0; 0; 2)', lo que demuestra que esta operación es posible y se solicita en los materiales de estudio.
Pregunta 3: Se solicita hallar la ecuación de la recta intersección para pares de planos dados.
A. Ano
B. Ne
Explicación: El punto 9.b bajo la sección '2. Planos' explícitamente pide 'Hallar la ecuación de la recta intersección de los planos anteriores', refiriéndose a los pares de planos dados en los subapartados i y ii.
Pregunta 4: El plano que pasa por el origen y es perpendicular al vector v = (-1; 3; 2) tiene como ecuación cartesiana x + 3y - 2z = 0.
A. Ano
B. Ne
Explicación: Según el material de estudio, para hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular al vector v = (-1; 3; 2), el vector v es el vector normal del plano. Por lo tanto, la ecuación del plano sería de la forma -x + 3y + 2z + D = 0. Como pasa por el origen (0, 0, 0), sustituimos estos valores para encontrar D: -0 + 3(0) + 2(0) + D = 0, lo que implica que D = 0. Así, la ecuación cartesiana correcta del plano es -x + 3y + 2z = 0, no x + 3y - 2z = 0.
Pregunta 5: La ecuación vectorial de la recta que contiene al punto P(6; -3; 7) en la dirección del vector v = (-5, 6, -3) es (x, y, z) = (5; -6; 3) + t(6; -3; 7).
A. Ano
B. Ne
Explicación: Según el punto 1.a de la sección Rectas, la recta contiene al punto P(6; -3; 7) y tiene la dirección del vector v = (-5, 6, -3). Por lo tanto, su ecuación vectorial debe ser (x, y, z) = (6; -3; 7) + t(-5; 6; -3), y no la ecuación dada en la pregunta.