Resumen de Ecuaciones de Rectas y Planos en 3D
Ecuaciones de Rectas y Planos en 3D: Guía Completa para Estudiantes
Introducción
La geometría analítica tridimensional estudia la posición relativa y las ecuaciones de rectas y planos en el espacio $,\mathbb{R}^3$. Aquí aprenderás a representar rectas y planos con diferentes ecuaciones, a determinar paralelismo y perpendicularidad, y a resolver intersecciones entre rectas y planos.
Definición: Una recta en $,\mathbb{R}^3$ puede describirse por una ecuación vectorial $\vec r=\vec a+\lambda\vec v$, ecuaciones paramétricas $x=a_1+\lambda v_1$, $y=a_2+\lambda v_2$, $z=a_3+\lambda v_3$ y, si $v_i\neq 0$, ecuación simétrica $\dfrac{x-a_1}{v_1}=\dfrac{y-a_2}{v_2}=\dfrac{z-a_3}{v_3}$.
Definición: Un plano en $,\mathbb{R}^3$ puede describirse por su ecuación cartesiana $Ax+By+Cz+D=0$, donde $\vec n=(A,B,C)$ es el vector normal al plano.
1. Rectas: formas y conversiones
1.1 Ecuaciones principales
- Ecuación vectorial: $\vec r=\vec a+\lambda\vec v$.
- Ecuaciones paramétricas: $x=a_1+\lambda v_1$, $y=a_2+\lambda v_2$, $z=a_3+\lambda v_3$.
- Ecuación simétrica (cuando es posible): $\dfrac{x-a_1}{v_1}=\dfrac{y-a_2}{v_2}=\dfrac{z-a_3}{v_3}$.
1.2 Cómo obtener cada forma
- A partir de un punto $P(a_1,a_2,a_3)$ y vector dirección $\vec v=(v_1,v_2,v_3)$:
- Vectorial: $\vec r=(a_1,a_2,a_3)+\lambda(v_1,v_2,v_3)$.
- Paramétricas: $x=a_1+\lambda v_1$, $y=a_2+\lambda v_2$, $z=a_3+\lambda v_3$.
- Simétrica: $\dfrac{x-a_1}{v_1}=\dfrac{y-a_2}{v_2}=\dfrac{z-a_3}{v_3}$ si $v_i\neq 0$.
- A partir de dos puntos $P,Q$: tomar $\vec v=\overrightarrow{PQ}=Q-P$ y usar el punto $P$.
1.3 Ejemplo práctico
- Dado $P(6,-3,7)$ y $\vec v=(-5,6,-3)$:
- Vectorial: $\vec r=(6,-3,7)+\lambda(-5,6,-3)$.
- Paramétricas: $x=6-5\lambda$, $y=-3+6\lambda$, $z=7-3\lambda$.
- Simétrica: $\dfrac{x-6}{-5}=\dfrac{y+3}{6}=\dfrac{z-7}{-3}$.
1.4 Ejercicio resuelto (comprobar pertenencia)
- Recta: $\vec r=(2,0,3)+\lambda(2,1,-1)$ (es decir $x=2+2\lambda$, $y=0+\lambda$, $z=3-\lambda$). ¿Pertenece $R(3,1/2,5/2)$?
- Resolver para $\lambda$ de cada coordenada: $2+2\lambda=3\Rightarrow\lambda=\dfrac{1}{2}$; $\lambda=\dfrac{1}{2}$ por la segunda; $3-\lambda=\dfrac{5}{2}\Rightarrow\lambda=\dfrac{1}{2}$. Coinciden, luego $R$ pertenece a la recta.
Definición: Dos rectas son paralelas si sus vectores direcciones son proporcionales. Son perpendiculares si su producto escalar es cero.
2. Operaciones entre rectas
- Paralelismo: $\vec v_1=\alpha\vec v_2$.
- Perpendicularidad: $\vec v_1\cdot\vec v_2=0$.
- Intersección: igualar paramétricas y resolver el sistema para parámetros; si hay solución, las rectas se intersectan en ese punto.
Tabla comparativa: Formas de representar rectas
| Forma | Ventaja | Uso típico |
|---|---|---|
| Vectorial $\vec r=\vec a+\lambda\vec v$ | Compacta, buena para vectores | Paso a cálculo y movimiento |
| Paramétricas | Fácil para evaluar puntos | Sustitución en planos |
| Simétrica | Visual de razones | Cuando ningún componente es cero |
3. Planos: representación y propiedades
3.1 Ecuación cartesiana y vector normal
- Si $\vec n=(A,B,C)$ es normal, la ecuación del plano que pasa por $P_0(x_0,y_0,z_0)$ es: $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$ que se puede escribir como $$Ax+By+Cz+D=0$$ con $D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)$.
3.2 Obtención del vector normal
- Dado dos vectores paralelos al plano $\vec u$ y $\vec v$, un vector normal es $\vec n=\vec u\times\vec v$.
3.3 Ejemplo práctico (plano por tres puntos)
- Puntos $P(4,4,2)$, $Q(-1,2,0)$, $R(0,2,-1)$.
- Vectores en el plano: $\vec u=Q-P=(-5,-2,-2)$, $\vec v=R-P=(-4,-2,-3)$.
- Normal: $\vec n=\vec u\times\vec v$ (calcular el determinante) y luego usar la fórmula del plano.
Definición: Un vector es paralelo a un plano si es ortogonal al vector normal del plano.
3.4 Intersección recta-plano
- Sustituir las
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Geometría 3D: Rectas y Planos
Klíčová slova: Geometría analítica tridimensional
Klíčové pojmy: Recta: $\vec r=\vec a+\lambda\vec v$; paramétricas $x=a_1+\lambda v_1$, $y=a_2+\lambda v_2$, $z=a_3+\lambda v_3$, Ecuación simétrica $\dfrac{x-a_1}{v_1}=\dfrac{y-a_2}{v_2}=\dfrac{z-a_3}{v_3}$ si $v_i\neq 0$, Plano: $Ax+By+Cz+D=0$ con normal $\vec n=(A,B,C)$, Normal de un plano: $\vec n=\vec u\times\vec v$ para dos vectores en el plano, Paralelas: vectores direcciones proporcionales; planos paralelos: normales proporcionales, Perpendiculares: producto escalar cero entre direcciones o entre normales, Intersección recta-plano: sustituir paramétricas en $Ax+By+Cz+D=0$ y resolver, Recta intersección de planos: dirección $\vec n_1\times\vec n_2$ y punto resolviendo el sistema