Resumen de Ecuación de la Parábola con Vértice (h,k)

## Introducción Las parábolas son curvas planas que aparecen en geometría, física y diseño. Cuando su vértice no está en el origen, su ecuación se traslada usando las coordenadas del vértice $H$ y $K$. En este material estudiaremos cómo se escriben esas ecuaciones, cómo identificar sus elementos (foco, directriz, eje) y ejemplos prácticos de uso. > Definición: Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. ## Concepto básico: traslación del vértice Una parábola con vértice en el punto $\left(H,K\right)$ se obtiene reemplazando $x$ por $x-h$ y $y$ por $y-k$ en las ecuaciones canónicas centradas en el origen. ### Ecuaciones canónicas con vértice en $\left(H,K\right)$ - Parábola con eje vertical (abre hacia arriba o abajo): $$\left(x - h\right)^2 = 4a\left(y - k\right)$$ - Parábola con eje horizontal (abre hacia la derecha o izquierda): $$\left(y - k\right)^2 = 4a\left(x - h\right)$$ > Definición: El parámetro $a$ es la distancia dirigida entre el vértice y el foco; determina la apertura de la parábola. ### Elementos importantes (para la forma vertical) - Vértice: $\left(h,k\right)$ - Foco: $\left(h,k+a\right)$ - Directriz: $y = k - a$ - Lado recto: $LR = |4a|$ Para la forma horizontal se intercambian coordenadas: foco $\left(h+a,k\right)$ y directriz $x = h - a$. ## Forma general y tipos de ecuaciones Las ecuaciones desarrolladas (forma general) pueden aparecer como: - Si abre hacia la derecha o izquierda (eje horizontal): $$y^2 \pm by \pm cx \pm d = 0$$ - Si abre hacia arriba o abajo (eje vertical): $$x^2 \pm bx \pm cy \pm d = 0$$ Aquí $b,c,d$ son números reales que resultan de expandir y reorganizar la ecuación canónica tras la traslación del vértice. > Definición: La forma canónica muestra claramente vértice y parámetro $a$; la forma general es útil para clasificación y álgebra pero oculta estos elementos hasta que se completa el cuadrado. ## Cómo identificar vértice, foco y directriz a partir de la ecuación 1. Si la ecuación es de la forma $$\left(x - h\right)^2 = 4a\left(y - k\right)$$ entonces el eje es vertical y el vértice es $\left(h,k\right)$. 2. Calcular $a$ despejando la constante que multiplica la expresión lineal en $y-k$ o $x-h$. 3. Usar las fórmulas de foco y directriz dadas arriba. Ejemplo 1: Ecuación: $$\left(x - 2\right)^2 = 12\left(y + 1\right)$$ - Aquí $h = 2$, $k = -1$, y $4a = 12$ entonces $a = 3$. - Vértice: $\left(2,-1\right)$ - Foco: $\left(2,-1+3\right) = \left(2,2\right)$ - Directriz: $y = -1 - 3 = -4$ - Lado recto: $LR = |4a| = 12$ Ejemplo 2: Ecuación: $$\left(y + 2\right)^2 = -8\left(x - 1\right)$$ - Reescribiendo como $$\left(y - (-2)\right)^2 = 4a\left(x - 1\right)$$ tenemos $h = 1$, $k = -2$, $4a = -8$ entonces $a = -2$. - La parábola abre hacia la izquierda (porque $a<0$). - Vértice: $\left(1,-2\right)$ - Foco: $\left(1-2,-2\right) = \left(-1,-2\right)$ - Directriz: $x = 1 - \left(-2\right) = 3$, o mejor calculado $x = h - a = 1 - (-2) = 3$. ## Tabla comparativa | Característica | Eje vertical | Eje horizontal | |---|---:|---:| | Ecuación canónica | $$\left(x - h\right)^2 = 4a\left(y - k\right)$$ | $$\left(y - k\right)^2 = 4a\left(x - h\right)$$ | | Vértice | $\left(h,k\right)$ | $\left(h,k\right)$ | | Foco | $\left(h,k+a\right)$ | $\left(h+a,k\right)$ | | Directriz | $y = k - a$ | $x = h - a$ | | Abre hacia | arriba si $a>0$, abajo si $a<0$ | derecha si $a>0$, izquierda si $a<0$ | ## Pasos para mover una parábola del origen al vértice $\left(H,K\right)$ 1. Partir de la forma en el origen: $x^2 = 4ay$ o $y^2 = 4ax$. 2. Reemplazar $x$ por $x-h$ y $y$ por $y-k$. 3. Expandir si se requiere la forma general. 4. Identificar $a$, luego calcular foco y directriz. ## Aplicaciones prácticas - Reflectores y antenas parabólicas: el foco concentra ondas; puedes diseñar la parábola trasladando el vértice para posicionar el foco donde convenga. - Trayectorias en física: algunas apro