Test sobre Dominio de Expresiones y Ecuaciones Lineales

Pregunta 1: Para determinar el conjunto solución de una ecuación $p(x) = q(x)$, el conjunto restricción de las expresiones $p(x)$ y $q(x)$ no es considerado.

A. Sí

B. No

Explicación: El conjunto solución de una ecuación $p(x) = q(x)$ se define como el conjunto $S$ formado por todos los $x$ que pertenecen al conjunto restricción $R$ y que satisfacen la ecuación. Además, se establece que el conjunto solución $S$ se puede obtener como la intersección entre el conjunto de números reales que satisfacen la ecuación y el conjunto restricción $R$, es decir, $S = \{x \in \mathbb{R} : p(x) = q(x)\} \cap R$. Por lo tanto, el conjunto restricción sí es considerado.

Pregunta 2: El conjunto restricción de una expresión algebraica p(x) se define como el conjunto de todos los números reales x para los cuales la expresión p(x) también representa un número real.

A. Sí

B. No

Explicación: Según la definición proporcionada, el conjunto restricción de una expresión p(x) es el conjunto R formado por todos los x en los reales, para los cuales la expresión p(x) representa un número real.

Pregunta 3: Según los materiales de estudio, muchas ecuaciones no son de primer grado, pero pueden reducirse a una mediante procedimientos algebraicos. ¿Cuál de los siguientes es un procedimiento clave, específicamente para manejar ecuaciones con fracciones, que facilita esta reducción?

A. Determinar el conjunto restricción (dominio de trabajo)

B. Resolver la expresión con el exponente -1

C. Amplificar la ecuación por el común denominador

D. Representar gráficamente los términos de la ecuación

Explicación: Los materiales de estudio establecen que 'Generalmente, muchas ecuaciones no son de primer grado, pero mediante procedimientos algebraicos las podemos reducir a una de primer grado'. Entre los 'Pasos a seguir' para la resolución de ecuaciones, se menciona 'Amplificar por el común denominador para facilitar la resolución'. Este procedimiento es esencial para eliminar las fracciones de una ecuación, transformándola en una forma polinómica más sencilla que, a menudo, puede reducirse a una ecuación de primer grado después de las simplificaciones algebraicas adecuadas, como se observa en los ejemplos dados.

Pregunta 4: Determine el conjunto restricción de la expresión algebraica $p(x) = \left(5 - \frac{x}{x + 2}\right)^{-1}$.

A. $R = \mathbb{R} - \{-2\}$

B. $R = \mathbb{R} - \{-2, -\frac{5}{2}\}$

C. $R = \mathbb{R} - \{\frac{5}{2}\}$

D. $R = \mathbb{R} - \{-2, \frac{5}{2}\}$

Explicación: Para determinar el conjunto restricción de la expresión $p(x) = \left(5 - \frac{x}{x + 2}\right)^{-1}$, debemos considerar dos condiciones. Primero, el denominador de la fracción interna no puede ser cero, por lo tanto $x + 2 \neq 0$, lo que implica $x \neq -2$. Segundo, dado que la expresión completa tiene un exponente de $-1$, significa que $p(x) = \frac{1}{5 - \frac{x}{x + 2}}$. Por lo tanto, el denominador de esta nueva fracción no puede ser cero: $5 - \frac{x}{x + 2} \neq 0$. Resolviendo esta inecuación, obtenemos $\frac{5(x + 2) - x}{x + 2} \neq 0$, lo que simplifica a $\frac{5x + 10 - x}{x + 2} \neq 0$, es decir, $\frac{4x + 10}{x + 2} \neq 0$. Esto implica que el numerador $4x + 10 \neq 0$, lo que lleva a $4x \neq -10$, y finalmente $x \neq -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$. Combinando ambas restricciones, el conjunto restricción es $R = \mathbb{R} - \{-2, -\frac{5}{2}\}$.

Pregunta 5: Para determinar el espesor de una losa de cimentación con dimensiones de largo y ancho conocidas, y un volumen de hormigón total dado, se utiliza una ecuación algebraica.

A. Sí

B. No

Explicación: El material de estudio presenta un ejemplo donde se modela el volumen de una losa ($V = 12 imes 5 imes E$) y se iguala al volumen total de hormigón ($9m^3$), resultando en la ecuación algebraica $9 = 60E$ para encontrar el espesor $E$.