Resumen de Dominio de Expresiones y Ecuaciones Lineales

## Introducción Las ecuaciones algebraicas son igualdades que contienen incógnitas (por ejemplo $x$) y expresiones algebraicas. Resolver una ecuación significa encontrar todos los valores de la(s) incógnita(s) que hacen verdadera la igualdad. En este material veremos métodos básicos para resolver ecuaciones lineales y racionales, cómo determinar el dominio (restricciones) y ejemplos aplicados a problemas reales. > Definición: Una ecuación algebraica es una igualdad entre expresiones polinómicas o racionales que contiene una o más incógnitas y que se resuelve buscando los valores de dichas incógnitas que satisfacen la igualdad. ## Conceptos clave desglosados ### 1. Dominio y restricciones - Antes de manipular una ecuación que contiene fracciones racionales, raíces o potencias con exponentes negativos, identifique valores prohibidos. - Para fracciones, los valores que hacen cero al denominador están excluidos del dominio. > Definición: El conjunto restricción (o dominio de trabajo) es el conjunto de valores permitidos para la incógnita, excluyendo aquellos que anulan denominadores o violan condiciones de raíz. Ejemplo: En la ecuación $\frac{2x-1}{x+4}-\frac{x+5}{x-5}=1$ se exige $x\neq -4$ y $x\neq 5$. ### 2. Resolver ecuaciones lineales sencillas - Ecuación tipo: $ax+b=c$. - Pasos: aislar la incógnita sumando/restando términos y luego dividiendo por el coeficiente. Ejemplo: Resolver $\frac{3}{4}-\frac{x-5}{2}=-3x$. Paso 1: Multiplicar por $4$ para eliminar denominadores: $$3-2x+10=-12x$$ Sumar $12x$ a ambos lados: $$10x+13=0$$ Restar $13$: $$10x=-13$$ Dividir por $10$: $$x=-\frac{13}{10}$$ ### 3. Ecuaciones con fracciones racionales - Encuentre el común denominador y multiplique toda la ecuación por él para eliminar fracciones, cuidando no introducir soluciones extraviadas (verificar dominio). Ejemplo completo: $\frac{2x-1}{x+4}-\frac{x+5}{x-5}=1$. 1) Restricciones: $x\neq -4$, $x\neq 5$. 2) Multiplicar por $(x+4)(x-5)$ y desarrollar cada término: $$ (2x-1)(x-5)-(x+4)(x+5)=(x+4)(x-5)$$ Resolver los productos y simplificar da $$x=\frac{5}{19}$$ Verificar que $x$ no está en las exclusiones. ### 4. Exponentes negativos e inversas - Una potencia con exponente $-1$ representa la inversa multiplicativa: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a}$ siempre que $a\neq 0$. - Al manipular expresiones con exponentes negativos, transforme primero la potencia a fracción para simplificar. Ejemplo guía (actividad de cierre): Resolver $$x-\left(\frac{2x-1}{2x^2}\right)^{-1}=-3$$ Paso 1: Dominio: $2x^2\neq 0\Rightarrow x\neq 0$. Además la expresión interior $2x-1$ no debe ser cero cuando pase al denominador luego de invertir, por lo que $2x-1\neq 0\Rightarrow x\neq\frac{1}{2}$. Paso 2: Aplicar la inversa: $$\left(\frac{2x-1}{2x^2}\right)^{-1}=\frac{2x^2}{2x-1}$$ La ecuación queda: $$x-\frac{2x^2}{2x-1}=-3$$ Paso 3: Multiplicar por el común denominador $2x-1$ (conservando restricciones): $$x(2x-1)-2x^2=-3(2x-1)$$ Desarrollar y simplificar produce una ecuación polinómica que se resuelve mediante los pasos habituales; finalmente verificar que las soluciones no violan $x\neq 0$, $x\neq\frac{1}{2}$. ### 5. Aplicación práctica: volumen y ecuaciones - Las ecuaciones también modelan problemas geométricos. Por ejemplo, si un losa rectangular de largo $12\,[m]$ y ancho $5\,[m]$ requiere volumen $9\,[m^3]$, el espesor $E$ satisface: $$9=12\cdot 5\cdot E$$ Despejar: $$E=\frac{9}{60}=\frac{3}{20}\,[m]=15\,[cm]$$ > Definición: Una ecuación aplicada es una igualdad que relaciona magnitudes físicas; resolverla da la medida desconocida que satisface la condición del problema. ## Comparación de métodos (tabla) | Tipo de ecuación | Método recomendado | Punto crítico | |---|---:|---| | Lineal simple $ax+b=c$ | Aislar $x$ por operaciones inversas | Ninguna restricción especial | | Racional | Multiplicar por el común denominador; verificar dominio | Evitar valores que anulan denominadores | | Con exponentes negativos | Reescribir como fracción a