Resumen de Distribuciones de Probabilidad Discretas

## Introducción La **Distribución de Poisson** modela el número de ocurrencias de eventos discretos en un intervalo de tiempo o espacio cuando esos eventos suceden de forma aleatoria y a una tasa promedio constante. Es útil cuando los eventos son raros respecto al tamaño del intervalo y se asume independencia entre ocurrencias. > Definición: La distribución de Poisson con parámetro $\lambda>0$ asigna a cada $x=0,1,2,\dots$ la probabilidad > $$P(x)=\frac{e^{-\lambda} \; \lambda^{x}}{x!}$$ ## Propiedades fundamentales ### Parámetro - El parámetro es $\lambda$, que representa la **media** o promedio de ocurrencias en el intervalo considerado. - $\lambda$ puede interpretarse como tasa: ocurrencias por unidad de tiempo/espacio. ### Soporte y naturaleza - Variable aleatoria discreta: $x=0,1,2,\dots$ (sin límite superior teórico). - Las probabilidades cumplen $$\sum_{x=0}^{\infty} P(x)=1$$ > Definición: Valor esperado y varianza en la Poisson > $$E(x)=\lambda$$ > $$\operatorname{Var}(x)=\lambda$$ > Por lo tanto la desviación estándar es $\sigma=\sqrt{\lambda}$. ### Consecuencias prácticas - Si $\lambda$ aumenta, la distribución se desplaza hacia valores mayores y se hace más ancha porque la varianza crece con $\lambda$. - Para $\lambda$ pequeño la masa se concentra en valores bajos (0,1,2,...). Did you know que en la distribución de Poisson la media y la varianza son iguales, lo que facilita la detección de sobredispersión cuando se comparan datos empíricos con el modelo? ## Condiciones de uso y aproximación - Es adecuada cuando: eventos independientes, tasa promedio constante, ocurrencias no simultáneas (uno a uno) y el número de ensayos o tiempo puede considerarse suficientemente grande para modelar como proceso de conteo. - Regla práctica para aproximar una binomial por Poisson: si se diera el caso (cubierto en otro material), usar $\lambda=n\,p$ cuando $n$ grande y $p$ pequeño. ## Cálculo de probabilidades: técnicas y ejemplos ### Fórmula puntual Para calcular la probabilidad exacta de $x$ ocurrencias: $$P(x)=\frac{e^{-\lambda} \; \lambda^{x}}{x!}$$ Ejemplo: Si $\lambda=1.5$, la probabilidad de $x=0$ es $$P(0)=\frac{e^{-1.5} \; 1.5^{0}}{0!}=e^{-1.5}=0.2231$$ ### Probabilidades acumuladas y complemento - Para intervalos del tipo $P(x\geq k)$ es frecuente usar el complemento: $$P(x\geq k)=1-P(x\leq k-1)$$ - Calcular $P(x\leq m)$ sumando probabilidades puntuales o consultando tablas acumuladas. Ejemplo práctico 1 (sitio web): $\lambda=7$ visitantes por minuto. - $P(0)=\frac{e^{-7}7^{0}}{0!}=0.0009$. - $P(1)=\frac{e^{-7}7^{1}}{1!}=0.0064$. - Probabilidad de al menos 2 visitantes: $$P(x\geq 2)=1-(P(0)+P(1))=1-(0.0009+0.0064)=0.9927$$ Ejemplo práctico 2 (muestras con errores): $n=1500$, $p=0.001$, $\lambda=n\,p=1.5$. - $P(x=0)=0.2231$. - $P(x=1)=0.3347$. - $P(x=2)=0.2510$. - $P(x\leq 2)=0.2231+0.3347+0.2510=0.8088$. Fun fact: Las tablas acumuladas de Poisson eran herramientas habituales antes de los calculadores y hoy permiten entender rápidamente probabilidades sin cálculos largos. ## Uso de tablas y software - Tablas puntuales: dan $P(x)$ para pares $(x,\lambda)$. - Tablas acumuladas: dan $P(X\leq x)$ para pares $(x,\lambda)$ y simplifican cálculos por complemento. - En software (R, Python, calculadoras científicas) se usan funciones como $\text{dpois}(x,\lambda)$ y $\text{ppois}(x,\lambda)$. ## Ejercicios tipo y solución paso a paso 1) Si la media es 2 ocurrencias por periodo, ¿cuál es la media en 3 periodos? - Respuesta: $E(3\text{ periodos})=3\times 2=6$. 2) Con $\lambda=2$ por periodo, calcular $P(x=2)$: $$P(2)=\frac{e^{-2}2^{2}}{2!}=\frac{e^{-2}4}{2}=2e^{-2}\approx 0.2707$$ 3) Con media 2 por periodo, probabilidades en 3 periodos equivalen a $\lambda_{3}=3\times 2=6$. Calcular $P(x=6)$: $$P(6)=\frac{e^{-6}6^{6}}{6!}\approx 0.1606$$ Paso general para resolver problemas: 1. Verificar que $\lambda$ corresponde al intervalo pedido. 2. Elegir fórmula puntual o acumulada según la consulta. 3. Usar complemento si con