Test sobre Derivadas: Definición, Interpretación y Reglas

Pregunta 1: En los materiales de estudio, se presenta la derivación por definición de la función potencia f(x) = x^n.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Los materiales de estudio no presentan la derivación paso a paso de la función potencia f(x) = x^n por definición. Mencionan que se ha visto f(x) = x^2 como un ejemplo de cálculo de derivada por definición, y luego generalizan la fórmula, pero no muestran el proceso de aplicación de la definición para obtener f'(x) = nx^(n-1). Las funciones cuya derivada por definición se presenta son la constante, la identidad, el seno y el coseno.

Pregunta 2: La derivada de una función en un punto se define como el límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero.

A. Ano

B. Ne

Explicación: La derivada de una función en un punto se define como el límite del cociente incremental para el incremento Δx → 0, como se indica en la sección 'Derivada de una función en un punto'. Simbólicamente, 𝐟 ′ (𝐱) = 𝐥𝐢𝐦 𝚫𝐱→𝟎 𝐟(𝐱+𝚫𝐱)−𝐟(𝐱) 𝚫𝐱.

Pregunta 3: Según el material de estudio, al aplicar la definición de derivada para la función constante f(x) = k en un punto 'a', ¿cuál es el valor del límite final que se obtiene?

A. k

B. 1

C. 0

D. Un límite indeterminado (0/0) que no se puede salvar

Explicación: La derivada de una función constante f(x) = k por definición se calcula como f ’(a) = lim x→a (f(x) - f(a)) / (x - a). Sustituyendo f(x) y f(a) por k, se obtiene lim x→a (k - k) / (x - a) = lim x→a 0 / (x - a) = lim x→a 0. Por lo tanto, el límite final que se obtiene es 0.

Pregunta 4: Para la función f(x) = x^2 - 2x + 1 analizada en el intervalo [-1; 2], el cociente incremental resultó ser -1. Según los materiales de estudio, ¿cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente el significado de este valor?

A. La función disminuye 1 unidad por cada unidad de disminución de la variable independiente.

B. La función crece 1 unidad por cada unidad que aumenta la variable independiente.

C. La imagen de la función disminuye 1 unidad por cada unidad que aumenta la variable independiente.

D. El valor final de la función es 1, mientras que el valor inicial es 4.

Explicación: Para la función f(x) = x^2 - 2x + 1 en el intervalo [-1; 2], el cociente incremental es -1. Este valor significa que por cada unidad que aumenta la variable independiente, la imagen de la función disminuye 1 unidades, tal como se explica en el Ejemplo 1 de los materiales de estudio. Esta descripción coincide con la opción 3.

Pregunta 5: La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función y = f(x) en el punto (a, f(a)) está definida por t(x) = f ’(a)(x-a) + f(a).

A. Ano

B. Ne

Explicación: La sección 'Recta tangente a una curva' de los materiales de estudio establece que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) es t(x) = f ’(a)(x-a) + f(a).