# Derivadas y cálculo diferencial ## Introducción La derivada es una herramienta fundamental del cálculo diferencial que cuantifica cómo cambia una función cuando su variable independiente sufre un pequeño cambio. En este material verás la definición de derivada, cómo se relaciona con el cociente incremental y la variación media, reglas básicas de derivación y ejemplos prácticos aplicables a física, ingeniería y economía. > **Definición:** Sea $y=f(x)$ una función definida en un entorno de $x$. Si existe el límite $$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$entonces este límite se llama **derivada** de $f$ en $x$ y representa la variación instantánea de $f$ respecto de $x$. ## 1. Incremento y cociente incremental ### Incremento de una función - Si la variable independiente cambia de $x$ a $x+\Delta x$, el **incremento** de la función es $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x).$$ - Incremento no implica siempre aumento: si $\Delta y>0$ hay aumento; si $\Delta y<0$ hay disminución. > **Definición:** Incremento $\Delta y$ es el cambio absoluto en la imagen de la función cuando la variable cambia en $\Delta x$. Ejemplo: Para $f(x)=x^2-2x+1$ en el intervalo $[-1,2]$, con $x=-1$ y $x+\Delta x=2$: $$\Delta x=3,\quad \Delta y=f(2)-f(-1)=1-4=-3.$$ Esto significa que la función disminuye $3$ unidades en ese intervalo. ### Cociente incremental (variación media) - El **cociente incremental** mide el cambio medio por unidad de $x$ en el intervalo $[x,x+\Delta x]$: $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$$ - Interpretación geométrica: es la pendiente de la **recta secante** que une los puntos $(x,f(x))$ y $(x+\Delta x,f(x+\Delta x))$. Ejemplo: Para $f(x)=3x+2$ entre $x=2$ y $x=2.1$: $$\Delta x=0.1,\quad \Delta y=0.3,\quad \frac{\Delta y}{\Delta x}=3.$$ La función cambia $3$ unidades por cada unidad en $x$; en este caso es constante porque es una función afín. Fun fact: La velocidad media en física entre $t_0$ y $t_f$ es exactamente el cociente incremental de la posición respecto del tiempo; por ejemplo si $y=6t^2$, la velocidad media entre $t=1$ y $t=4$ es $30\ \mathrm{m/s}$. ## 2. Derivada: concepto y notaciones - Notaciones comunes: $f'(x)$, $y'$, $\dfrac{dy}{dx}$ (esta última no es un cociente real, pero se interpreta como razón de cambio). - Alternativa para calcular en un punto $a$: $$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$ > **Concepto clave:** La derivada es el límite del cociente incremental cuando $\Delta x\to 0$; si el límite existe y es finito, la función es derivable en ese punto. ### Relación con continuidad - Si $f$ es derivable en $a$, entonces $f$ es continua en $a$. - La derivabilidad es condición suficiente para continuidad, pero la continuidad no garantiza derivabilidad (continuidad necesaria, no suficiente). Breve demostración idea: Si $\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$, multiplicando por $(x-a)$ y tomando límites se obtiene $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. ## 3. Interpretación geométrica - La **pendiente de la recta secante** en $[x,x+\Delta x]$ es $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. - Al tomar el límite cuando $\Delta x\to 0$, la secante tiende a la **recta tangente** y su pendiente a la derivada $f'(x)$. > **Nota:** (Se evita profundizar en recta tangente en este material según indicación.) ## 4. Reglas básicas de derivación A continuación se presentan las fórmulas y una tabla resumen para derivar funciones elementales. 1. Derivada de una constante: $$\text{Si }f(x)=k\text{ entonces }f'(x)=0.$$ 2. Derivada de la identidad: $$\text{Si }f(x)=x\text{ entonces }f'(x)=1.$$ 3. Potencias: $$\text{Si }f(x)=x^n\text{ entonces }f'(x)=n\,x^{n-1},\quad n\in\mathbb{R},\ n\neq -1\text{ (con }x\neq 0\text{ si }n<0).$$ 4. Exponenciales y logaritmos: $$\dfrac{d}{dx}e^x=e^x,\quad \dfrac{d}{dx}a^x=a^x\ln(a),\quad \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}.$$ 5. Trigonométricas: $$\dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x),\quad \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).$$ > Tabla comparativa de derivadas | F