Derivadas: Definición, Interpretación y Reglas Clave
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Pregunta: ¿Qué representa el símbolo Δ en el contexto de una función?
Respuesta: Δ representa el incremento o cambio: Δ = valor final - valor inicial (por ejemplo ΔT = 23°C - 20°C = 3°C).
Pregunta: ¿Qué diferencia hay entre 'incremento' y 'aumento' según el contenido?
Respuesta: Incremento significa cambio; si es positivo hay aumento y si es negativo hay disminución.
Pregunta: ¿Cómo se denotan los cambios en la variable independiente y en la función?
Respuesta: El cambio en x se denota Δx y el cambio en y se denota Δy.
Pregunta: Expresa Δy en términos de f, x y Δx.
Respuesta: Δy = f(x+Δx) - f(x).
Pregunta: Cómo se interpreta Δy verbalmente?
Respuesta: Δy es la imagen de f en el valor incrementado menos la imagen de f en el valor sin incrementar.
Pregunta: Calcula Δy para f(x)=x^2-2x+1 en el intervalo [-1,2] usando x=-1 y x+Δx=2.
Respuesta: f(-1)=4, f(2)=1, Δy = f(2)-f(-1) = 1 - 4 = -3.
Pregunta: ¿Qué es el cociente incremental (variación media) de una función en [x, x+Δx]?
Respuesta: Es Δy/Δx = [f(x+Δx)-f(x)]/Δx, la variación media de la función por unidad de incremento de x en ese intervalo.
Pregunta: Calcula la variación media para f(x)=x^2-2x+1 en [-1,2].
Respuesta: Δy/Δx = (f(2)-f(-1))/(2-(-1)) = (-3)/3 = -1. La imagen disminuye 1 unidad por cada unidad que aumenta x.
Pregunta: Para f(x)=3x+2, con x=2 y Δx=0,1, ¿cuál es Δy y la variación media?
Respuesta: f(2)=8, f(2.1)=8.3, Δy=0.3. Variación media = Δy/Δx = 0.3/0.1 = 3 (constante porque es función afín).
Pregunta: Cómo se calcula la velocidad media si la distancia es y=f(t)=6t^2 entre t=1 y t=4?
Respuesta: Δt=3, f(1)=6, f(4)=96, Δy=90. Velocidad media = Δy/Δt = 90/3 = 30 m/s.