Test sobre Coordenadas Polares e Integrales Impropias

Pregunta 1: La ecuación polar r = 2 representa una circunferencia con centro en el origen (polo) O y radio 2.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según las propiedades de las curvas polares, una ecuación de la forma r = a, donde a es una constante, describe una circunferencia con centro en el origen (polo) O y un radio igual a |a|. En este caso, r = 2, por lo tanto, es una circunferencia con centro O y radio 2.

Pregunta 2: ¿Qué lugar geométrico se describe si la coordenada polar θ (ángulo) se fija en un valor constante θ₀, mientras que la coordenada r (distancia dirigida) puede tomar cualquier valor real?

A. Una circunferencia con centro en el polo y radio |r₀|

B. Una recta que pasa por el polo

C. Un segmento de recta desde el polo hasta el punto (r₀, θ₀)

D. Una espiral que se aleja del polo

Explicación: Según el material de estudio, la pregunta '¿Qué lugar geométrico se obtiene si θ = θ₀ y r ∈ R?' implica que al fijar θ y permitir que r varíe sobre todos los números reales, se describe una recta que pasa por el origen (polo). Si r fuese fijo, se describiría una circunferencia.

Pregunta 3: La integral impropia de tipo 1, ∫ ∞ a x − p dx (donde 0 < a < ∞), converge si el valor de p es menor que 1.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según la Proposición (p-integrales) en los materiales, la integral impropia ∫ ∞ a x − p dx (con 0 < a < ∞) converge si p > 1. Si p ≤ 1, la integral diverge. Por lo tanto, la afirmación de que converge si p < 1 es incorrecta.

Pregunta 4: La integral impropia de tipo 1 de una función f en R = (-∞, ∞), ∫ ∞ −∞ f ( x ) dx, es necesariamente igual a lim t →∞ (∫ t − t f ( x ) dx ).

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según los materiales de estudio, la integral ∫ ∞ −∞ f ( x ) dx no es necesariamente igual a lim t →∞ (∫ t − t f ( x ) dx ).

Pregunta 5: ¿Cuál es el valor de la integral impropia ∫ ∞ 0 e − x dx?

A. 0

B. 1

C. e

D. -1

Explicación: Según la definición y el ejemplo proporcionado, la integral ∫ ∞ 0 e − x dx se evalúa como lim t →∞ (∫ t 0 e − x dx ). Al integrar, se obtiene lim t →∞ ( − e − x ∣ ∣ t 0 ) = lim t →∞ ( − e − t + 1 ). Dado que lim t →∞ ( − e − t ) es 0, el valor final de la integral es 1.