Resumen de Coordenadas Polares e Integrales Impropias

## Introducción Las **coordenadas polares** ofrecen una forma alternativa de ubicar puntos en el plano usando una distancia radial y un ángulo. En lugar de las coordenadas cartesianas $(x,y)$, usamos el par $(r,\theta)$ donde $r$ es la distancia dirigida desde el polo (origen) y $\theta$ es el ángulo (en radianes) medido desde el eje polar (eje $x$ positivo). Este sistema resulta muy útil para curvas con simetría radial o angulares, como circunferencias, rosáceas y espirales. > Definición: Las coordenadas polares de un punto $P$ son el par $\left(r,\theta\right)$ donde $r=d(O,P)$ y $\theta$ es el ángulo dirigido entre el eje polar y el rayo $OP$. Si $P=O$ entonces $r=0$ y $\left(0,\theta\right)=O$ para todo $\theta$. ## Conceptos básicos ### Relación con coordenadas cartesianas Las fórmulas de conversión entre sistemas son: $$x = r\cos\left(\theta\right)$$ $$y = r\sin\left(\theta\right)$$ $$r^{2} = x^{2} + y^{2}$$ $$\tan\left(\theta\right) = \frac{y}{x}$$ - Estas relaciones permiten pasar de una representación a otra. Tenga en cuenta que $\theta$ no queda determinado de forma única por $\tan\left(\theta\right)$, ya que la tangente repite valores cada $\pi$. > Definición: Un punto $(r,\theta)$ y las equivalencias > $$(r,\theta + 2n\pi),\qquad ( -r,\theta + (2n+1)\pi),\quad n\in\mathbb{Z}$$ > representan el mismo punto geométrico. ### Interpretación de $r$ con signo - Si $r>0$ el punto está en la dirección de $\theta$ respecto al origen. - Si $r<0$ el punto está a $|r|$ pero en la dirección opuesta; por ejemplo $(-r,\theta)=(r,\theta+\pi)$. ## Ecuaciones polares y gráficas Una ecuación polar es de la forma $r=f\left(\theta\right)$ o más generalmente $F\left(r,\theta\right)=0$. La gráfica consta de todos los puntos con coordenadas que satisfacen la ecuación. Ejemplos básicos: - $r=a$ (con $a>0$) es una circunferencia centrada en el origen y radio $a$: $$r=a$$ - Línea radial fija: $\theta=\theta_{0}$ describe la semirrecta que parte del origen con ángulo $\theta_{0}$. > Definición: Curva polar es el lugar geométrico de puntos $P$ tales que $r=f\left(\theta\right)$. ### Ejemplo: rosa de 4 hojas Considere $r=\cos\left(2\theta\right)$. Al analizar $\theta\in[0,2\pi]$ observamos cuartos de periodo que generan pétalos. Por ejemplo: - Para $\theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{4}\right]$ tenemos $r\in\left[0,1\right]$ (pétalo hacia afuera). - Para $\theta\in\left[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\right]$ se obtiene $r\in\left[-1,0\right]$ (trazo invertido que forma otro pétalo). Trazando todos los intervalos se obtiene una curva con simetría y cuatro pétalos. ### Conversión de ecuaciones - Ejemplo: Si se tiene la ecuación cartesianas $(x-\pi)^{2}+y^{2}=e^{2}$, usando $x=r\cos\left(\theta\right)$ y $y=r\sin\left(\theta\right)$ se obtiene la ecuación polar: $$\left(r\cos\left(\theta\right)-\pi\right)^{2}+\left(r\sin\left(\theta\right)\right)^{2}=e^{2}$$ Desarrollando y simplificando se puede despejar $r$ en función de $\theta$ si es necesario. - Ejemplo propuesto: La ecuación cartesiana $x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}+2x^{3}+2xy^{2}-y^{2}=0$ es equivalente a $r=1-\cos\left(\theta\right)$. Para justificarlo, sustituya $x=r\cos\left(\theta\right)$ y $y=r\sin\left(\theta\right)$ y factorice las potencias de $r$. ### Rectas en coordenadas polares - Rectas verticales $x=a$ se escriben sustituyendo $x=r\cos\left(\theta\right)$: $$r\cos\left(\theta\right)=a$$ - Rectas horizontales $y=b$: $$r\sin\left(\theta\right)=b$$ Si $a=0$ o $b=0$ se obtienen el eje vertical u horizontal respectivamente. ## Ejercicios resueltos y ejemplos prácticos 1) Grafique los puntos $\left(1,\tfrac{5\pi}{4}\right)$ y $\left(-3,\tfrac{3\pi}{4}\right)$. - Interpretación: $\left(1,\tfrac{5\pi}{4}\right)$ está en el tercer cuadrante a distancia $1$ del origen; posee equivalencias $\left(1,-\tfrac{3\pi}{4}\right)$, $\left(-1,\tfrac{\pi}{4}\right)$, etc. - Para $\left(-3,\tfrac{3\pi}{4}\right)$: como $r<0$, el punto queda en la dirección opuesta a $\tfrac{3\pi}{4}$, es decir en e