Tarjetas de Coordenadas Polares e Integrales Impropias
Coordenadas Polares e Integrales Impropias: Guía Completa
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Coordenadas polares
14 tarjetas
Tarjeta 1
Pregunta: ¿Qué son las coordenadas polares de un punto P en el plano y cómo se definen r y θ?
Respuesta: Las coordenadas polares de P son el par (r, θ) donde r = distancia dirigida d(O,P) desde el polo O, y θ es el ángulo dirigido (en radianes) entre el e
Tarjeta 2
Pregunta: ¿Qué punto representa (0, θ) en coordenadas polares para cualquier θ?
Respuesta: Representa el polo O (el origen): (0, θ) = O para todo θ.
Tarjeta 3
Pregunta: ¿Cómo se interpreta un r negativo en coordenadas polares?
Respuesta: Si r<0 el punto está en la recta que pasa por O a distancia |r| pero en el lado opuesto; (−r, θ) = (r, θ+π).
Tarjeta 4
Pregunta: Da la relación entre coordenadas polares (r, θ) y cartesianas (x, y).
Respuesta: x = r cosθ, y = r sinθ, r^2 = x^2 + y^2 y tanθ = y/x (con las consideraciones de cuadrante).
Tarjeta 5
Pregunta: ¿Por qué la representación polar de un punto no es única? Da la fórmula general de equivalencias.
Respuesta: Porque se puede sumar 2nπ a θ o cambiar el signo de r añadiendo π a θ: (r, θ+2nπ) y (−r, θ+(2n+1)π), con n∈Z, dan el mismo punto.
Tarjeta 6
Pregunta: ¿Qué lugar geométrico describe el conjunto de puntos con r = r0 constante cuando θ varía en [0,2π]?
Respuesta: Una circunferencia centrada en O de radio |r0|.
Tarjeta 7
Pregunta: ¿Qué lugar geométrico se obtiene si θ = θ0 fijo y r varía por R?
Respuesta: La recta que pasa por el polo O con dirección dada por el ángulo θ0 (un semieje, extendido por r∈R da la recta completa a través de O).
Tarjeta 8
Pregunta: Escribe la ecuación polar equivalente a la ecuación cartesiana xy = α.
Respuesta: r^2 cosθ sinθ = α, con α∈R.
Tarjeta 9
Pregunta: La ecuación cartesiana x^4+y^4+2x^2y^2+2x^3+2xy^2−y^2=0 equivale a qué ecuación polar según el contenido?
Respuesta: Equivale a r = 1 − cosθ (justificación pedida en la clase).
Tarjeta 10
Pregunta: ¿Cómo se representa el punto cartesiano (1, −1) en coordenadas polares (según la tarea planteada)?
Respuesta: Se debe convertir usando r = √(x^2+y^2)=√2 y θ tal que cosθ=1/√2, sinθ=−1/√2; por tanto r=√2 y θ = −π/4 (u otra representación equivalente como 7π/4).