Resumen de Conductismo: Fundamentos y Aplicaciones Educativas

## Introducción La **programación lineal** es una rama de la investigación operativa dedicada a modelar y resolver problemas de asignación de recursos limitados de manera óptima cuando las relaciones entre variables son lineales. Se utiliza ampliamente en economía, logística, ingeniería y ciencias aplicadas para maximizar o minimizar una función objetivo sujeta a restricciones lineales. > Definición: La programación lineal es el proceso de optimizar una función lineal sujeta a un conjunto de restricciones lineales y de no negatividad. ## Conceptos básicos ### Componentes de un modelo de programación lineal - **Función objetivo:** expresa cuantitativamente la meta a optimizar (maximizar o minimizar). Ejemplo: $\text{Maximizar } z = 3x_1 + 2x_2$. - **Variables de decisión:** incógnitas que representan decisiones a tomar, por ejemplo $x_1$, $x_2$. - **Restricciones:** ecuaciones o desigualdades lineales que limitan las combinaciones factibles de variables, por ejemplo $x_1 + 2x_2 \le 100$. - **Restricciones de no negatividad:** normalmente $x_i \ge 0$ para todas las variables relevantes. > Definición: Región factible es el conjunto de todas las soluciones que satisfacen todas las restricciones de un problema de programación lineal. ### Formas de representación - **Forma estándar (maximización):** - Función objetivo: $\text{Maximizar } z = c_1 x_1 + \dots + c_n x_n$. - Restricciones: $$a_{11}x_1 + \dots + a_{1n}x_n \le b_1$$ $$\vdots$$ $$a_{m1}x_1 + \dots + a_{mn}x_n \le b_m$$ - No negatividad: $x_j \ge 0$. - **Forma canónica (ecuaciones):** se obtienen introduciendo variables de holgura, excedente o artificial según corresponda. ### Propiedades importantes - Si existe una solución óptima, existe al menos una solución óptima en un vértice de la región factible. - Si la región factible es no acotada en la dirección de optimización, el problema puede ser ilimitado (sin solución finita). - Si las restricciones son inconsistentes, la región factible está vacía y el problema es infactible. ## Métodos de solución ### Método gráfico (para $n=2$) 1. Plantea la función objetivo y las restricciones en el plano $(x_1,x_2)$. 2. Determina la región factible. 3. Evalúa la función objetivo en los vértices de la región factible. La mejor evaluación da la solución óptima. Ejemplo práctico: Maximizar $z=4x_1+3x_2$ sujeto a $x_1+2x_2\le 8$, $3x_1+2x_2\le 12$, $x_1,x_2\ge 0$. Graficando y calculando vértices se encuentra la solución óptima (evaluar en cada vértice). ### Método simplex - Es un algoritmo iterativo que mueve de vértice en vértice mejorando el valor de la función objetivo hasta alcanzar optimalidad. - Requiere escribir el problema en forma de tabla (tabla simplex) con variables básicas y no básicas. Pasos generales: 1. Convertir restricciones a ecuaciones con variables de holgura/excedente y, si es necesario, variables artificiales. 2. Formar la tabla inicial. 3. Determinar variable entrante (columna con coeficiente que mejora la función objetivo) y variable saliente (ratio mínimo). 4. Pivotar para actualizar la base y repetir hasta la optimalidad. > Definición: Una solución básica es aquella en la que $n-m$ variables son cero y las $m$ variables básicas se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones asociado. ### Método dual - Cada problema de programación lineal (primal) tiene un problema asociado llamado **dual**. - Propiedad de complementariedad: si una variable primal es positiva, la restricción dual correspondiente se cumple con igualdad, y viceversa. Ejemplo de formulación dual: para el primal de maximización $$\text{Maximizar } z = c^T x \quad \text{sujeto a } Ax \le b,\; x \ge 0$$ El dual es $$\text{Minimizar } w = b^T y \quad \text{sujeto a } A^T y \ge c,\; y \ge 0$$ ## Modelado y aplicaciones reales ### Aplicaciones típicas - **Transporte y logística:** minimizar costes de transporte sujetas a oferta y demanda. - **Planeación de producción:** maximizar beneficio o minimizar coste con capacidad y demand