Resumen de Conceptos Matemáticos en Arquitectura y Construcción

## Introducción La geometría, el álgebra lineal y la trigonometría son herramientas esenciales en el diseño y cálculo arquitectónico. En este material aplicaremos conceptos matemáticos a problemas prácticos de planta, fachada, cubiertas, sombras, rectas y matrices, con ejercicios tipo que aparecen con frecuencia en proyectos reales. > Definición: La escala es la relación proporcional entre una dimensión en un plano o maqueta y la dimensión real. ## Escalas y representación (Ejercicio 1) ### Concepto - Una escala 1:75 significa que $1$ unidad en el plano representa $75$ unidades en la realidad. - Para convertir: multiplicar la medida del plano por la escala. ### Ejemplo práctico 1. Si en el plano una pared mide $6{,}4\;\mathrm{cm}$ y la escala es $1:75$, la longitud real en metros se obtiene así: $$\text{longitud real} = 6{,}4\;\mathrm{cm} \times 75 = 480\;\mathrm{cm}$$ Convertimos a metros: $$480\;\mathrm{cm} = 4{,}8\;\mathrm{m}$$ 2. Para una maqueta a escala $1:150$, cada unidad representa $150$ unidades reales inversamente: la medida en maqueta se obtiene dividiendo la medida real por $150$. Partiendo de la medida real $4{,}8\;\mathrm{m}=480\;\mathrm{cm}$: $$\text{medida maqueta} = \frac{480\;\mathrm{cm}}{150} = 3{,}2\;\mathrm{cm}$$ ### Aplicación real - Modelado físico y maquetas para presentación de proyectos; comprobar dimensiones útiles y proporciones. > Definición: Una maqueta a escala es una reducción proporcional que mantiene las formas y proporciones del objeto real. ## Proporción áurea en fachadas (Ejercicio 2) ### Concepto - La proporción áurea $\varphi$ se define como $$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$$ - En rectángulos, la relación entre el lado mayor $L$ y el lado menor $l$ es $L = \varphi\, l$ aproximadamente. ### Cálculos 1. Si $l=4\;\mathrm{m}$: $$L = \varphi \times 4 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\times 4$$ Numéricamente: $$L \approx 1{,}618\times 4 = 6{,}472\;\mathrm{m}$$ 2. Para la fachada $4\;\mathrm{m}$ por $6{,}5\;\mathrm{m}$ comprobamos la relación real: $$\frac{L}{l} = \frac{6{,}5}{4} = 1{,}625$$ Comparando con $\varphi\approx 1{,}618$, la razón $1{,}625$ está muy cerca de $\varphi$, por lo que la fachada **respeta aproximadamente** la proporción áurea (justificar con tolerancias de diseño). ### Aplicación real - Uso en composición estética de fachadas, distribución de huecos y proporciones de ventanas. ## Trigonometría en cubiertas (Ejercicio 3) ### Concepto - Si una cubierta forma un ángulo $\theta$ con la horizontal, para una proyección horizontal $p$ la altura máxima $h$ y la longitud de la pendiente $s$ cumplen: $$h = p\;\tan\theta$$ $$s = \frac{p}{\cos\theta}$$ ### Cálculos (ángulo $28^\circ$, $p=12\;\mathrm{m}$) $$h = 12\;\tan\left(28^{\circ}\right)$$ $$s = \frac{12}{\cos\left(28^{\circ}\right)}$$ (Evaluar numéricamente con calculadora para obtener valores en metros.) ### Aplicación real - Cálculo de pendientes para evacuación de aguas, selección de materiales y estructura de cerchas. > Definición: La pendiente de una cubierta es el ángulo que forma su plano con la horizontal, y condiciona escorrentía y cargas. ## Sombras y ángulo de elevación solar (Ejercicio 4) ### Concepto - Con ángulo de elevación solar $\alpha$ y longitud de sombra $L_s$, la altura $H$ satisface $$H = L_s\;\tan\alpha$$ - Si $H$ es fija, la sombra como función del ángulo es $$L_s(\alpha) = \frac{H}{\tan\alpha}$$ ### Cálculos 1. Para $L_s=18\;\mathrm{m}$ y $\alpha=35^{\circ}$: $$H = 18\;\tan\left(35^{\circ}\right)$$ 2. Si el ángulo disminuye a $25^{\circ}$ y la altura permanece, la nueva sombra será $$L_s(25^{\circ}) = \frac{H}{\tan\left(25^{\circ}\right)}$$ Comparación: al disminuir $\alpha$, $\tan\alpha$ disminuye y por tanto la sombra aumenta. ### Aplicación real - Orientación de edificios, estudio de asoleamiento y cumplimiento de normativas sobre sombra. ## Rectas en el plano y geometría analítica (Ejercicio 5) ### Conceptos básicos - Ecuación de recta en forma pendiente-in