Conceptos Matemáticos en Arquitectura y Construcción
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Pregunta: En un plano a escala 1:75, una pared mide 6,4 cm en el plano. ¿Cuál es su longitud real en metros?
Respuesta: Longitud real = 6,4 cm × 75 = 480 cm = 4,80 m.
Pregunta: Si esa misma pared se representa ahora en una maqueta a escala 1:150, ¿qué longitud medirá en centímetros?
Respuesta: Longitud en maqueta = Longitud real ÷ 150 = 480 cm ÷ 150 = 3,2 cm.
Pregunta: ¿Cuál es el valor aproximado de la proporción áurea (ϕ) y cómo se aplica para obtener el lado mayor si el menor mide 4 m?
Respuesta: ϕ ≈ (1+√5)/2 ≈ 1,618. Lado mayor ≈ 4 m × 1,618 ≈ 6,472 m.
Pregunta: ¿Una fachada de 4 m por 6,5 m respeta la proporción áurea? Justifica brevemente.
Respuesta: Comparar 6,5/4 = 1,625 con ϕ ≈ 1,618. Son muy próximos, por lo que la fachada respeta aproximadamente la proporción áurea (diferencia ≈ 0,007).
Pregunta: Si un techo forma un ángulo de 28° con la horizontal y su proyección horizontal mide 12 m, ¿cuál es la altura máxima del techo?
Respuesta: Altura = 12 · tan(28°) ≈ 12 · 0,5317 ≈ 6,38 m.
Pregunta: Con la misma información, ¿cuál es la longitud real de la pendiente del techo?
Respuesta: Longitud de la pendiente = 12 / cos(28°) ≈ 12 / 0,8829 ≈ 13,59 m (o usar 12·sec28°).
Pregunta: Un edificio proyecta una sombra de 18 m cuando el ángulo de elevación del Sol es 35°. ¿Cuál es la altura del edificio?
Respuesta: Altura = 18 · tan(35°) ≈ 18 · 0,7002 ≈ 12,60 m.
Pregunta: Si la altura del edificio permanece igual, ¿cómo varía la longitud de la sombra cuando el ángulo de elevación baja a 25°?
Respuesta: Nueva sombra = altura ÷ tan(25°) = 12,60 m ÷ 0,4663 ≈ 27,03 m → la sombra aumenta al disminuir el ángulo.
Pregunta: Dadas las rectas r: y = 0,5x + 2 y s: y = -x + 8, ¿cuál es analíticamente su punto de intersección?
Respuesta: Igualar: 0,5x + 2 = -x + 8 → 1,5x = 6 → x = 4. Entonces y = 0,5·4 + 2 = 4. Punto de intersección: (4, 4).
Pregunta: Escribe en forma vectorial una recta perpendicular a r: y = 0,5x + 2 que pase por el punto (3,1).
Respuesta: Pendiente de r = 0,5 → pendiente perpendicular = -2. Forma vectorial: r_perp(t) = (3,1) + t·(1, -2) (vector director (1,-2)).