Resumen de Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Estadística

## Introducción La estadística inferencial estudia cómo usar datos muestrales para aprender sobre poblaciones. En este material revisaremos las principales **distribuciones** (discretas y continuas), cómo calcular **esperanza**, **varianza** y **desviación estándar**, la **aproximación de la binomial por la normal**, y métodos de **estimación** e **intervalos de confianza**. > **Definición:** La esperanza de una variable aleatoria es su valor medio teórico; la varianza mide la dispersión alrededor de la esperanza y la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. ## 1. Variables aleatorias: conceptos básicos ### 1.1 Variable aleatoria discreta - Esperanza: $E(X)=\sum_{x} x\,p_X(x)$ - Varianza: $\operatorname{Var}(X)=E\left[\left(X-\mu\right)^2\right]=\sum_{x} (x-\mu)^2\,p_X(x)$ - Desviación estándar: $\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$ > **Definición:** Una variable aleatoria discreta toma valores aislados (por ejemplo, conteos) con probabilidades asignadas. Ejemplo práctico: Si $X$ toma valores $0,1,2$ con probabilidades $0.2,0.5,0.3$, entonces $E(X)=0(0.2)+1(0.5)+2(0.3)=1.1$. ### 1.2 Variable aleatoria continua - Esperanza: $E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,dx$ - Varianza: $\operatorname{Var}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2\,f_X(x)\,dx$ - Desviación estándar: $\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$ > **Definición:** Una variable aleatoria continua tiene una función de densidad $f_X(x)$ y las probabilidades se obtienen integrando $f_X$ sobre intervalos. Ejemplo práctico: Si $f_X(x)=2x$ para $0\le x\le 1$ y $0$ fuera, primero comprobar normalización, luego calcular $E(X)=\int_0^1 x(2x)\,dx$. ### 1.3 Determinar constante $K$ en densidades Si $f(x)=K\,g(x)$ en $a\le x\le b$, usar la condición de área total 1: $$\int_a^b K\,g(x)\,dx=1$$ por tanto $$K=\frac{1}{\int_a^b g(x)\,dx}$$ Ejemplo: Si $g(x)=x$ en $[0,2]$, entonces $\int_0^2 x\,dx=2$, así $K=\tfrac{1}{2}$. ## 2. Distribuciones discretas importantes | Distribución | Notación | Función de probabilidad | Esperanza | Varianza | |---|---:|---|---:|---:| | Bernoulli | $X\sim$ Bernoulli$(p)$ | $P(X=1)=p$, $P(X=0)=1-p$ | $E(X)=p$ | $\operatorname{Var}(X)=p(1-p)$ | | Binomial | $X\sim$ Binomial$(n,p)$ | $P(X=x)=\binom{n}{x} p^{x} (1-p)^{n-x}$, $x=0,\ldots,n$ | $E(X)=np$ | $\operatorname{Var}(X)=np(1-p)$ | | Hipergeométrica | $X\sim$ Hypergeom$(N,K,n)$ | $P(X=x)=\dfrac{\binom{K}{x}\,\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}$ | $E(X)=n\dfrac{K}{N}$ | $\operatorname{Var}(X)=n\dfrac{K}{N}\dfrac{N-K}{N}\dfrac{N-n}{N-1}$ | | Poisson | $X\sim$ Poisson$(\lambda)$ | $P(X=x)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{x}}{x!}$, $x=0,1,\dots$ | $E(X)=\lambda$ | $\operatorname{Var}(X)=\lambda$ | Parámetros clave: $p$, $n$, $N$, $K$, $\lambda$. Fun fact: ¿Sabías que la distribución de Poisson aparece como límite de la binomial cuando $n\to\infty$ y $p\to 0$ manteniendo $np=\lambda$ constante? ## 3. Aproximación normal a la binomial (Teorema central del límite) Si $X\sim\text{Binomial}(n,p)$ y se cumplen $np\ge 5$ y $n(1-p)\ge 5$, entonces $$X\approx N(np,\;np(1-p))$$ Cuando se pide una probabilidad discreta usar la corrección por continuidad: $$P(a\le X\le b)\approx P(a-0.5\le Y\le b+0.5),\quad Y\sim N(np,\;np(1-p))$$ Ejemplo: Aproximar $P(X\le 10)$ para $X\sim\text{Binomial}(100,0.08)$ calculando la normal con $\mu=8$, $\sigma^2=7.36$ y aplicando corrección por continuidad. ## 4. Estimación: estimadores y propiedades ### 4.1 Estimadores y media muestral - Media muestral: $\bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$. - Estimador: una función de la muestra que se usa para estimar un parámetro poblacional. - Estimador puntual: devuelve un solo valor como estimación. > **Definición:** Un estimador es insesgado si $E(\hat{\theta})=\theta$. ### 4.2 Propiedades deseables - **Insesgado:** $E(\hat{\theta})=\theta$. - **Consistente:** $\hat{\theta}\xrightarrow{p}\theta$ cuando $n\to\infty$. - **Eficiente:** entre los estimadores insesgados tiene la menor varianza. Ejemplo: $\bar{X}$ es est