Resumen de Conceptos Fundamentales de Funciones

## Introducción Las funciones son herramientas fundamentales en matemáticas y modelan cómo una cantidad depende de otra. En este material veremos cómo combinar funciones mediante operaciones y composición, y cómo reconocer propiedades importantes como inyectividad, sobreyectividad y biyectividad. El objetivo es ofrecer explicaciones claras, ejemplos prácticos y ejercicios guiados pensados para estudiantes que no asistieron a la clase. ## Operaciones entre funciones Cuando tenemos dos funciones $f$ y $g$ definidas en dominios $Dom(f)$ y $Dom(g)$, podemos construir nuevas funciones mediante operaciones básicas. A continuación se detallan las definiciones y restricciones de dominio. > **Definición:** Si $f,g$ son funciones con dominios $Dom(f)$ y $Dom(g)$, entonces: > > 1. **Suma**: $f+g$ con dominio $Dom(f)\cap Dom(g)$ y $\, (f+g)(x)=f(x)+g(x)$. > 2. **Resta**: $f-g$ con dominio $Dom(f)\cap Dom(g)$ y $\, (f-g)(x)=f(x)-g(x)$. > 3. **Multiplicación**: $fg$ con dominio $Dom(f)\cap Dom(g)$ y $\, (fg)(x)=f(x)g(x)$. > 4. **División**: $\frac{f}{g}$ con dominio $Dom(f)\cap Dom(g)^*$, donde $Dom(g)^*=\{x\in Dom(g) : g(x)\neq 0\}$ y $\, \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$. > 5. **Composición**: $f\circ g$ dada por $\, (f\circ g)(x)=f(g(x))$ con dominio $Dom(f\circ g)=\{x\in Dom(g)\;\text{t.q.}\; g(x)\in Dom(f)\}$. ### Notas sobre dominio - Siempre determine el dominio nuevo como la intersección indicada y quitando puntos donde aparezcan denominadores nulos o raíces de índice par con argumento negativo. - Para composición, primero asegúrese de que $g(x)$ produzca valores dentro del dominio de $f$. ### Ejemplos prácticos 1. Sea $f(x)=\frac{1}{x}$. Entonces $Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}:x\neq 0\}$. 2. Sea $f(x)=\frac{1}{x}+x$. Aquí $Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}:x\neq 0\}$. 3. Sea $f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x-4}$. Debe cumplirse $x\ge 0$ y $x\neq 4$, por tanto $Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}:x\ge 0,\; x\neq 4\}$. 4. Sea $f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}$. Se excluyen raíces de $x^{2}-1=0$, entonces $Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}:x\neq -1,\; x\neq 1\}$. 5. Sea $f(x)=\sqrt{3x-1}$. Requiere $3x-1\ge 0$, así que $Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}:x\ge \frac{1}{3}\}$. ### Composición: ejemplos y restricciones - Sea $f(x)=x^{2}+x-1$ y $g(x)=\sqrt{x}$. - $f\circ g(x)=f(g(x))=\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}-1=x+\sqrt{x}-1$, dominio: $Dom(g)=\{x\ge 0\}$ y además $g(x)=\sqrt{x}$ ya está en $Dom(f)=\mathbb{R}$, por tanto $Dom(f\circ g)=\{x\ge 0\}$. - $g\circ f(x)=\sqrt{f(x)}=\sqrt{x^{2}+x-1}$ requiere $x^{2}+x-1\ge 0$, por tanto el dominio es $\{x:\; x^{2}+x-1\ge 0\}$ (resolver cuadrática para intervalos). - Restricción: $g\circ f$ no está definido para todos los $x$ reales porque se exige que $f(x)\ge 0$. - Sea $f(x)=x^{2}$ y $g(x)=x+2$. - $f\circ g(x)=(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$, dominio $\mathbb{R}$. - $g\circ f(x)=x^{2}+2$, dominio $\mathbb{R}$. - No hay restricciones adicionales porque ambos dominios son $\mathbb{R}$. ## Propiedades: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva Estas propiedades describen la relación entre elementos del dominio y del codominio. > **Definición:** Una función $f:A\mapsto B$ es **inyectiva** si para todo $x,y\in A$ se cumple $f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$. - Observación gráfica: una función es inyectiva si cualquier recta horizontal intersecta su gráfica a lo más en un punto. > **Definición:** Una función $f:A\mapsto B$ es **sobreyectiva** si $\operatorname{Codom}(f)=\operatorname{Rec}(f)$, es decir, para todo $b\in\operatorname{Codom}(f)$ existe $x\in Dom(f)$ tal que $f(x)=b$. > **Definición:** Una función es **biyectiva** si es inyectiva y sobreyectiva. ### Determinar dominio y recorrido (ejemplos) 1. $f(x)=\frac{1}{x+1}$. - Dominio: $Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}:x\neq -1\}$. - Recorrido: $f(x)$ puede tomar todos los valores reales excepto $0$ porque la ecuación $\frac{1}{x+1}=y$ implica $x+1=\frac{1}{y}$, y no hay $x$ real que produzca $y=0$. Entonces $Rec(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}$. 2. $f(x)=\frac{2}{2x-1}$.