Resumen de Conceptos Fundamentales de Álgebra y Lógica

## Introducción La materia de **Álgebra y matemáticas** reúne técnicas esenciales para el cálculo de sumas, manipulación de expresiones algebraicas, crecimiento exponencial, números complejos y raíces de unidades. En este material revisaremos problemas típicos de práctica, desglosando procedimientos paso a paso, con ejemplos y aplicaciones reales para estudiantes universitarios. > Definición: El álgebra estudia las operaciones y estructuras que permiten manipular símbolos y expresiones matemáticas para resolver ecuaciones y modelar relaciones cuantitativas. ## Sumas y series finitas ### Conceptos básicos - Una sumatoria finita se escribe $$\sum_{k=a}^{b} f(k)$$ y se interpreta como la suma de los valores $f(k)$ para $k=a,a+1,\dots,b$. - Para simplificar sumatorias conviene expandir el término general, separar en sumas conocidas y usar fórmulas cerradas. > Definición: Una suma telescópica es aquella cuyo término general se puede escribir como diferencia de dos términos consecutivos, $$a_k = b_{k+1} - b_k$$, de modo que al sumar muchos términos se cancelan elementos intermedios. ### Ejemplo práctico 1 (desglose de sumatoria) Problema: Calcular $$\sum_{i=3}^{30} (i+3)(i+7)$$. - Expanda el producto: $$(i+3)(i+7)=i^2+10i+21.$$ - Use la linealidad de la suma: $$\sum_{i=3}^{30} i^2 + 10\sum_{i=3}^{30} i + 21\sum_{i=3}^{30} 1.$$ - Use fórmulas conocidas: $$\sum_{i=1}^{n} i=\frac{n(n+1)}{2},\quad \sum_{i=1}^{n} i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$ - Calcule rangos restando las sumas desde 1 hasta 2 cuando corresponda. ### Tabla: Formulas básicas de sumas | Suma | Fórmula | | --- | --- | | $\sum_{k=1}^{n} 1$ | $n$ | | $\sum_{k=1}^{n} k$ | $\frac{n(n+1)}{2}$ | | $\sum_{k=1}^{n} k^2$ | $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ | | $\sum_{k=1}^{n} k^3$ | $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ | ### Ejemplo práctico 2 (sumas con factores constantes) Problema: Calcular $$\sum_{i=1}^{20} 3i - 2\cdot 2^{2k-1}$$ (nota: aclarar índice correcto; si la suma es sobre $i$ o $k$, identifique y trate cada parte por separado). - Separe la suma: $$3\sum_{i=1}^{20} i - 2\sum_{k=1}^{20} 2^{2k-1}.$$ - Use la fórmula de suma geométrica para la segunda parte: $$\sum_{k=1}^{n} r^{k}=r\frac{r^{n}-1}{r-1}.$$ ## Sumas telescópicas (determinación de constantes) ### Procedimiento - Dado un término de la forma $$\sqrt{k+1}\,C_{k+1}-\sqrt{k}\,C_{k-1}$$ (o similares), intente escribir como $b_{k+1}-b_k$ para alguna elección de $b_k$ que dependa de $C$. - Si la suma es $$\sum_{k=5}^{25} \left(\sqrt{k+1}C_{k+1}-\sqrt{k}C_{k-1}\right),$$ identifique condiciones sobre $C$ que hagan los términos internos cancelarse, dejando solo los bordes. > Definición: Para que una suma sea telescópica es suficiente que el término general se represente como diferencia de un mismo tipo de expresión evaluada en índices consecutivos. ### Ejemplo guiado - Plantee candidatos para $C_k$ (por ejemplo, proporcionales a $\sqrt{k}$ u otra función simple) y compruebe la cancelación al sumar. ## Modelos de crecimiento: cultivo que se triplica cada periodo ### Conceptos clave - Si una cantidad se triplica cada 12 horas, el factor por periodo es $3$. - Si en cada ciclo se separa una porción y se conserva el resto para el siguiente ciclo, el proceso puede modelarse por una recurrencia o una suma geométrica de lo que se guarda. > Definición: Un proceso discreto con factor de crecimiento $r$ cada periodo se modela por $V_{n+1}=r\,V_n - S_n$ si se extrae $S_n$ en el paso $n$. ### Problema realista: masa madre (procedimiento a) - Inicio: $50\,$ml, se alimenta hasta $200\,$ml (es decir, se añade hasta obtener $200$). Después de 12 h triplica: $200\cdot 3=600\,$ml. Se guarda $550\,$ml y quedan $50\,$ml para repetir. - Observación: Cada ciclo produce y se guarda $550\,$ml en el refrigerador, y se reinicia con $50\,$ml idéntico al inicio. Por tanto, los ciclos son idénticos. - Número de ciclos en 15 días: hay $15$ días $=15\cdot 24 =360$ horas; con periodos de 12 horas hay $\frac{360}{12}=30$ ciclos. - Cantidad guar