Conceptos Fundamentales de Álgebra y Lógica: Guía Completa
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Pregunta: Calcula la suma Σ_{i=3}^{30} (i+3)(i+7). ¿Cuál es el resultado?
Respuesta: Expandir (i+3)(i+7)=i^2+10i+21. Entonces Σ i^2 +10Σ i +21Σ1 desde i=3 a 30. Usar fórmulas: Σ_{1}^{n} i = n(n+1)/2, Σ i^2 = n(n+1)(2n+1)/6. Calcular va
Pregunta: Evalúa la suma Σ_{i=1}^{20} (3^i − 2·2^{2k−1}). ¿Qué pasos seguirías para simplificarla?
Respuesta: Separar sumas: Σ3^i −2 Σ 2^{2k−1}. Usar fórmula de suma geométrica para 3^i y para potencias de 2: 2^{2k−1}=2^{−1}·(2^2)^k = (1/2)·4^k, así convertir
Pregunta: Encuentra C tal que Σ_{k=5}^{25} (√(k+1) (C_{k+1}−√k C_k −1)) sea telescópica. ¿Cómo procederías?
Respuesta: Buscar C_k que haga que cada término se exprese como A_k − A_{k+1}. Probar elección C_k = √k produce cancelación; ajustar signo/índice para que la sum
Pregunta: Problema de masa madre (método A): Empiezas con 50 ml, alimentas hasta 200 ml, triplica cada 12 h, guardas 550 ml y repites con 50 ml restantes. ¿Cómo
Respuesta: Modelar ciclo de 12 h: partiendo de 200 ml que triplica → 600 ml; se guardan 550 ml y quedan 50 ml para reiniciar el ciclo. Hay 2 ciclos por día; en 1
Pregunta: Problema de masa madre (método B): Empiezas con 50 ml, alimentas hasta duplicar volumen, triplica en 12 h, guardas la mitad y repites con la mitad res
Respuesta: Si se duplica: 50→100 ml; triplica →300 ml; se guarda la mitad =150 ml y quedan 150 ml para el siguiente ciclo (alimentar hasta duplicar a 300 ml). Ca
Pregunta: Dado z1=1+3i, z2=5−8i y z3=5i, cómo calcular el módulo de w = z1·z2 / z2^3 ?
Respuesta: Simplificar: w = z1·z2 / (z2^3) = z1 / z2^2. Calcular módulo: |w| = |z1| / |z2|^2. Con |z1|=√(1^2+3^2)=√10; |z2|=√(5^2+(-8)^2)=√89. Entonces |w|=√10 /
Pregunta: Cómo aproximar la parte real e imaginaria de z1^{15} con z1=1+3i?
Respuesta: Escribir z1 en forma polar: r=√10, θ=atan2(3,1). Luego z1^{15}=r^{15} (cos(15θ)+ i sin(15θ)). Calcular numéricamente usando r^{15} y las funciones tri
Pregunta: Calcula las raíces octavas de i (i^{1/8}). ¿Cómo obtenerlas y expresarlas?
Respuesta: i = e^{iπ/2}. Las 8 raíces son e^{i(π/16 + k·π/4)} para k=0,1,...,7. Equivalente a cos(π/16 + kπ/4)+ i sin(π/16 + kπ/4).
Pregunta: Simplifica la proposición [ q ⇒ (p ∧ q)] ∨ [ q ⇒ (p ∧ q)]. ¿Cuál es la forma máxima simplificada?
Respuesta: Ambos disyuntos son iguales, así la expresión es simplemente q ⇒ (p ∧ q). Además q ⇒ (p ∧ q) es lógicamente equivalente a (¬q) ∨ (p ∧ q), que a su vez