Test sobre Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal

Pregunta 1: El vector que representa el centroide de un triángulo con vértices u, v y w es igual a u + v + w.

A. Sí

B. No

Explicación: El estudio de materiales indica que si los vértices de un triángulo tienen vectores u, v y w, el punto C (llamado el centroide del triángulo) tiene un vector de 1/3(u + v + w).

Pregunta 2: Encuentra la ecuación vectorial de la línea paralela al vector d = [2 -1 0] y que pasa por el punto P (1, -1, 3).

A. x = 1 + 2t, y = -1 - t, z = 3

B. [x y z] = [1 -1 3] + t [2 -1 0]

C. [x y z] = [2 -1 0] + t [1 -1 3]

D. [x y z] = [1 -1 3] - t [2 -1 0]

Explicación: Según el Ejercicio 4.1.22 (a), la ecuación vectorial de una línea que pasa por un punto P con vector de posición p_0 y es paralela a un vector d se expresa como p = p_0 + t * d. En este caso, el punto P es (1, -1, 3), por lo que p_0 = [1 -1 3], y el vector paralelo es d = [2 -1 0]. Por lo tanto, la ecuación vectorial es [x y z] = [1 -1 3] + t [2 -1 0].

Pregunta 3: En un sistema de ecuaciones lineales, las variables libres son aquellas que corresponden a los unos líderes de la matriz escalonada reducida.

A. Sí

B. No

Explicación: Las variables libres son las variables no líderes a las que se les asignan parámetros, mientras que los unos líderes corresponden a las variables principales, no a las libres.

Pregunta 4: Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente una matriz aumentada en un sistema de ecuaciones lineales, según el material de estudio?

A. La matriz aumentada es una forma diferente de describir el sistema de ecuaciones.

B. Cada fila de la matriz aumentada consta de los coeficientes de las variables, en orden, junto con el término constante de la ecuación correspondiente.

C. En una matriz aumentada, los términos constantes de las ecuaciones se separan de los coeficientes de las variables por una línea vertical para mayor claridad.

D. La matriz aumentada está compuesta únicamente por los coeficientes de las variables del sistema.

Explicación: Según el material de estudio, la matriz aumentada es solo una forma diferente de describir el sistema de ecuaciones. Cada fila de la matriz consiste en los coeficientes de las variables (en orden) de la ecuación correspondiente, junto con el término constante, y estos se separan por una línea vertical para mayor claridad. La afirmación de que la matriz aumentada está compuesta únicamente por los coeficientes de las variables es incorrecta, ya que esa es la definición de la matriz de coeficientes.

Pregunta 5: En la multiplicación por bloques de matrices, el número de filas en cada bloque de la primera matriz debe ser igual al número de columnas en el bloque correspondiente de la segunda matriz para que el producto tenga sentido.

A. Sí

B. No

Explicación: Para que la multiplicación por bloques de matrices sea compatible, el número de columnas en cada bloque de la primera matriz debe ser igual al número de filas en el bloque correspondiente de la segunda matriz, no al revés. Esto asegura que todos los productos matriciales de bloques que ocurren tengan sentido.