Resumen de Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal

## Introducción En este material estudiamos los operadores lineales en $\mathbb{R}^3$: transformaciones lineales $T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ que pueden representarse por matrices $3\times 3$. Nos centramos en rotaciones alrededor de una recta que pasa por el origen, reflexiones respecto a un plano que pasa por el origen y proyecciones sobre planos y rectas que pasan por el origen. Explicaremos definiciones, fórmulas matriciales y ejemplos prácticos. > **Definición:** Una transformación $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ es **lineal** si para todo $x,y\in\mathbb{R}^n$ y todo escalar $a$ se cumple $T(x+y)=T(x)+T(y)$ y $T(ax)=aT(x)$. Cuando $n=m$ llamamos a $T$ un **operador lineal** en $\mathbb{R}^n$. ## Conceptos básicos y representación matricial - Cualquier operador lineal $T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ se puede escribir como $T(x)=Ax$ para alguna matriz $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$. - Para estudiar operadores geométricos (rotaciones, reflexiones, proyecciones) es útil elegir una base ortonormal que simplifique la forma de la matriz. ### Matriz de una transformación en una base ortonormal - Si tomamos una base ortonormal $\{u_1,u_2,u_3\}$, la matriz de $T$ tiene columnas $T(u_1)$, $T(u_2)$, $T(u_3)$ expresadas en esa misma base. - Para rotaciones y reflexiones es frecuente usar la base que incluye el eje o la normal del plano fijo. ## Rotaciones en $\mathbb{R}^3$ alrededor de una recta que pasa por el origen > **Definición:** Una **rotación** alrededor de una recta unitaria $\hat{n}$ que pasa por el origen y con ángulo $\theta$ deja inalterada la componente en la dirección $\hat{n}$ y rota el plano ortogonal a $\hat{n}$ por $\theta$. Construcción y fórmula (vectorial): si $v\in\mathbb{R}^3$, la rotación de $v$ alrededor de $\hat{n}$ por ángulo $\theta$ puede expresarse mediante la fórmula de Rodrigues: $$ R_{\hat{n},\theta}(v)=\cos\theta\,v+\sin\theta\,\hat{n}\times v+(1-\cos\theta)\,\langle\hat{n},v\rangle\hat{n} $$ - Aquí $\langle\hat{n},v\rangle$ es el producto escalar y $\times$ es el producto vectorial. - La matriz $R$ correspondiente en coordenadas canónicas se obtiene sustituyendo $v$ por las variables de la base estándar y calculando las columnas. Ejemplo práctico: 1. Sea $\hat{n}=(0,0,1)$ (eje $z$) y $\theta$ ángulo. La rotación es la matriz conocida $$ R_{z,\theta}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ 2. Si $\hat{n}$ es otra dirección unitaria, podemos construir una base ortonormal con $\hat{n}$ y aplicar la fórmula de Rodrigues para obtener la matriz. Aplicación real: rotaciones en gráficos 3D, animación y robótica para describir orientación de cuerpos rígidos. Did you know que la fórmula de Rodrigues proporciona una representación compacta de la rotación sin necesidad de matrices 4\times 4 homogéneas? ## Reflexiones respecto a un plano que pasa por el origen > **Definición:** Una **reflexión** respecto a un plano con normal unitario $\hat{n}$ es la transformación que deja inalteradas las componentes en el plano y cambia de signo la componente en la dirección $\hat{n}$. La acción sobre un vector $v$ viene dada por $$ S_{\hat{n}}(v)=v-2\langle\hat{n},v\rangle\hat{n} $$ La matriz asociada (en coordenadas estándar si $\hat{n}=(n_1,n_2,n_3)$) es $$ S=I-2\hat{n}\hat{n}^T=\begin{pmatrix} 1-2n_1^2 & -2n_1n_2 & -2n_1n_3 \\ -2n_2n_1 & 1-2n_2^2 & -2n_2n_3 \\ -2n_3n_1 & -2n_3n_2 & 1-2n_3^2 \end{pmatrix} $$ Ejemplo: reflexión respecto al plano $xy$ tiene $\hat{n}=(0,0,1)$ y matriz $$ S=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix} $$ Aplicación real: procesamiento de imágenes espejadas y física de colisiones elásticas ideales. Fun fact: las reflexiones respecto a un plano tienen determinante $-1$, por lo que no preservan la orientación del espacio. ## Proyecciones sobre planos y rectas que pasan por el origen > **Definición:** Una **proyección ortogonal** sobre un subespacio $W\subset\mathbb{R}^3$ es el operador lineal $P$ qu