Test sobre Campos Vectoriales, Rotacional y Divergencia

Pregunta 1: El rotacional de un campo vectorial \(\vec{F} = (P, Q, R)\) en \(\mathbb{R}^3\) se puede expresar como el determinante de una matriz con \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) en la primera fila, los operadores de derivadas parciales \(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\) en la segunda fila, y las componentes \(P, Q, R\) del campo en la tercera fila.

A. Ano

B. Ne

Explicación: La definición del rotacional \(\text{rot}(\vec{F})\) o \(\nabla \times \vec{F}\) establece explícitamente que se calcula como el determinante de una matriz que contiene los vectores unitarios \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\), los operadores de derivadas parciales \(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\) y las componentes \(P, Q, R\) del campo vectorial.

Pregunta 2: Según el material de estudio, ¿cuál de las siguientes opciones presenta un ejemplo de un campo vectorial?

A. ⃗ F ( x , y ) = ( y , − x )

B. ⃗ F ( x , y , z ) = ( x + y , y + z , z + x )

C. ⃗ F ( x , y , z ) = x y 2 + x 2 z + y 2 z 2

D. Un campo donde ⃗ F : U ⊂ R 1 → R 1

Explicación: El material de estudio define y lista explícitamente ⃗ F ( x , y ) = ( y , − x ) como un ejemplo de campo vectorial para N=2. Las opciones 1 es un campo vectorial pero no se proporciona como ejemplo en el material de estudio. La opción 2 representa una función escalar (su resultado es un único valor numérico, no un vector), lo cual no es un campo vectorial. La opción 3 contradice la definición de campo vectorial, que especifica que N debe ser 2 o 3.

Pregunta 3: La divergencia de un campo vectorial es un campo vectorial.

A. Ano

B. Ne

Explicación: La definición establece que la divergencia de un campo vectorial, denotado por div(⃗F) o ∇ · ⃗F, es el campo escalar.

Pregunta 4: Un campo vectorial que es el gradiente de una función de clase C2 puede presentar un rotacional diferente de cero.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según el teorema presentado, para una función f de clase C2, el rotacional de su gradiente (rot(∇f)) es siempre igual a cero. Esto significa que un campo gradiente es irrotacional y no puede tener un rotacional diferente de cero.

Pregunta 5: Según la definición proporcionada en los materiales de estudio, ¿cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente el rotacional de un campo vectorial?

A. Es un operador que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones.

B. Es un campo escalar que representa la expansión o contracción del fluido.

C. Se denota por div(⃗F) y mide la diferencia entre el flujo entrante y saliente.

D. Es un campo vectorial definido para campos ⃗ F : U ⊂ R^N → R^N para cualquier N ≥ 1.

Explicación: El material de estudio define el rotacional como "un operador que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones" y "es el campo vectorial". La opción 1 coincide directamente con esta definición. Las otras opciones describen la divergencia, una característica incorrecta del rotacional (es un campo vectorial, no escalar) o una definición dimensional incorrecta (se especifica para R^3).