Campos Vectoriales, Rotacional y Divergencia: Guía Completa
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Pregunta: ¿Qué mide el rotacional de un campo vectorial en R^3?
Respuesta: Mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial en tres dimensiones.
Pregunta: ¿Cómo se denota y cómo se define formalmente el rotacional de F = (P,Q,R)?
Respuesta: Se denota rot(F) o ∇×F y se define como ∇×F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y).
Pregunta: Calcule el rotacional de F(x,y,z) = (x^2 y, −2 x z, x + y − z).
Respuesta: rot(F) = (∂/∂y(x+y−z) − ∂/∂z(−2xz), ∂/∂z(x^2 y) − ∂/∂x(x+y−z), ∂/∂x(−2xz) − ∂/∂y(x^2 y)) = (1 − (−2x), 0 − 1, (−2z) − (2xy)) = (1+2x, −1, −2z − 2xy).
Pregunta: ¿Qué mide la divergencia de un campo vectorial?
Respuesta: Mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen dV.
Pregunta: Cómo se denota y cómo se calcula la divergencia de un campo F en R^N?
Respuesta: Se denota div(F) o ∇·F y se calcula como div(F)=∂F1/∂x1 + ∂F2/∂x2 + ... + ∂FN/∂xN, donde Fi son las componentes y xi las coordenadas cartesianas.
Pregunta: ¿Qué significa que un campo vectorial sea incompresible en términos de divergencia?
Respuesta: Significa que div(F)=0.
Pregunta: Comprueba si el campo F(x,y,z)=(x y^2 z, −2 y^3 z, (5/2) y^2 z^2) es incompresible según la presentación.
Respuesta: Es incompresible porque su divergencia es 0 (div(F)=0).
Pregunta: En R^3, ¿qué relación existe entre el rotacional y el campo gradiente?
Respuesta: Para f de clase C^2 se cumple rot(∇f)=0, es decir, todo campo gradiente es irrotacional.
Pregunta: Ejemplo: Verificar rot(∇f)=0 para f(x,y,z)=e^{x^2+y} − x^2 z^3 (qué se pide hacer).
Respuesta: Se pide verificar el teorema aplicándolo a f(x,y,z)=e^{x^2+y} − x^2 z^3 mostrando que el rotacional del gradiente de f es 0.