Resumen de Campos Vectoriales, Rotacional y Divergencia
Campos Vectoriales, Rotacional y Divergencia: Guía Completa
Introducción
El objetivo de este material es explicar y practicar un resultado fundamental del cálculo vectorial: la divergencia del rotacional de un campo vectorial de clase $C^2$ es siempre cero. Presentaremos la idea principal, un procedimiento paso a paso para verificar el teorema en un ejemplo concreto y algunas aplicaciones y observaciones relevantes para un estudiante que estudia de forma independiente.
Definición: Sea $\mathbf{F}:U\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ un campo vectorial de clase $C^2$. El rotacional de $\mathbf{F}$ se denota $\operatorname{rot}\mathbf{F}$ y la divergencia de un campo $\mathbf{G}$ se denota $\operatorname{div}\mathbf{G}$. El teorema establece que $$\operatorname{div}\left(\operatorname{rot}\mathbf{F}\right)=0.$$
Idea principal y desglose
Intuición geométrica (breve)
- El rotacional mide la tendencia de las partículas a rotar alrededor de un punto.
- La divergencia mide cuánto "fluye" un campo hacia afuera desde un punto.
- Si algo es puramente rotacional (sin fuentes ni sumideros locales), entonces su divergencia local es cero.
Hipótesis necesarias
- El campo $\mathbf{F}$ debe ser de clase $C^2$, es decir, tener derivadas parciales continuas hasta segundo orden en la región considerada. Esta regularidad permite intercambiar el orden de diferenciación (teorema de Schwarz), paso clave en la demostración.
Demostración (esquema)
- Escribimos $\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)$ con componentes suficientemente diferenciables.
- Recordamos las fórmulas para rotacional y divergencia:
- Rotacional: $$\operatorname{rot}\mathbf{F}=\left( \dfrac{\partial F_3}{\partial y}-\dfrac{\partial F_2}{\partial z},; \dfrac{\partial F_1}{\partial z}-\dfrac{\partial F_3}{\partial x},; \dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y} \right).$$
- Divergencia de un campo $\mathbf{G}=(G_1,G_2,G_3)$: $$\operatorname{div}\mathbf{G}=\dfrac{\partial G_1}{\partial x}+\dfrac{\partial G_2}{\partial y}+\dfrac{\partial G_3}{\partial z}.$$
- Sustituimos $\mathbf{G}=\operatorname{rot}\mathbf{F}$ en la fórmula de la divergencia y agrupamos derivados mixtas.
- Aplicamos la igualdad de derivadas mixtas: $\dfrac{\partial^2}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2}{\partial y\partial x}$, etc., para ver que los términos se cancelan entre sí, dando cero.
Definición útil: (Teorema de Schwarz) Si $f$ tiene derivadas parciales de segundo orden continuas en una región, entonces $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$.
Ejemplo guiado: verificar el teorema para un campo dado
Verifique el teorema para $$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(xy^2,; x^2 z,; y^2 z^2\right).$$
- Calculemos el rotacional $\operatorname{rot}\mathbf{F}$. Usando la fórmula $$\operatorname{rot}\mathbf{F}=\left( \dfrac{\partial F_3}{\partial y}-\dfrac{\partial F_2}{\partial z},; \dfrac{\partial F_1}{\partial z}-\dfrac{\partial F_3}{\partial x},; \dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y} \right),$$ calculemos cada componente:
-
Primera componente: $$\dfrac{\partial F_3}{\partial y}-\dfrac{\partial F_2}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(y^2 z^2\right)-\dfrac{\partial}{\partial z}\left(x^2 z\right)=2y z^2 - x^2.$$
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Segunda componente: $$\dfrac{\partial F_1}{\partial z}-\dfrac{\partial F_3}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial z}\left(x y^2\right)-\dfrac{\partial}{\partial x}\left(y^2 z^2\right)=0-0=0.$$
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Tercera componente: $$\dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(x^2 z\right)-\dfrac{\partial}{\partial y}\left(x y^2\right)=2x z - 2x y.$$
Por tanto $$\operatorname{rot}\mathbf{F}=\left(2y z^2 - x^2,; 0,; 2x z - 2x y\right).$$
- Ahora calculemos la divergencia de $\operatorname{rot}\mathbf{F}$: $$\operatorname{div}\left(\operatorname{rot}\mathbf{F}\right)=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(2y z^2 - x^2\right)+\dfrac{\partial}{\partial y}(0)+\dfra
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Divergencia de un rotacional
Klíčová slova: Campos vectoriales, Campos vectoriales (rotacional y divergencia), Cálculo vectorial
Klíčové pojmy: Para $\mathbf{F}\in C^2$ se cumple $\operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{F})=0$, Rotacional: $\operatorname{rot}\mathbf{F}=\left(\partial_y F_3-\partial_z F_2,\;\partial_z F_1-\partial_x F_3,\;\partial_x F_2-\partial_y F_1\right)$, Divergencia: $\operatorname{div}\mathbf{G}=\partial_x G_1+\partial_y G_2+\partial_z G_3$, La identidad usa el teorema de Schwarz para igualar derivadas mixtas, Verificación por componentes: calcular $\operatorname{rot}\mathbf{F}$ y luego $\operatorname{div}$, En el ejemplo dado la suma de las derivadas produjo $-2x+2x=0$, Antes de aplicar la identidad comprobar que las componentes son $C^2$, Aplicación: simplificar ecuaciones en electromagnetismo y mecánica de fluidos, Consejo: practicar con polinomios simples para dominar los cálculos, Usar la identidad para detectar errores algebraicos en derivadas