Resumen de Campos Vectoriales, Rotacional y Divergencia

## Introducción El objetivo de este material es explicar y practicar un resultado fundamental del cálculo vectorial: la divergencia del rotacional de un campo vectorial de clase $C^2$ es siempre cero. Presentaremos la idea principal, un procedimiento paso a paso para verificar el teorema en un ejemplo concreto y algunas aplicaciones y observaciones relevantes para un estudiante que estudia de forma independiente. > **Definición:** Sea $\mathbf{F}:U\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ un campo vectorial de clase $C^2$. El **rotacional** de $\mathbf{F}$ se denota $\operatorname{rot}\mathbf{F}$ y la **divergencia** de un campo $\mathbf{G}$ se denota $\operatorname{div}\mathbf{G}$. El teorema establece que > $$\operatorname{div}\left(\operatorname{rot}\mathbf{F}\right)=0.$$ ## Idea principal y desglose ### Intuición geométrica (breve) - El rotacional mide la tendencia de las partículas a rotar alrededor de un punto. - La divergencia mide cuánto "fluye" un campo hacia afuera desde un punto. - Si algo es puramente rotacional (sin fuentes ni sumideros locales), entonces su divergencia local es cero. ### Hipótesis necesarias - El campo $\mathbf{F}$ debe ser de clase $C^2$, es decir, tener derivadas parciales continuas hasta segundo orden en la región considerada. Esta regularidad permite intercambiar el orden de diferenciación (teorema de Schwarz), paso clave en la demostración. ### Demostración (esquema) 1. Escribimos $\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)$ con componentes suficientemente diferenciables. 2. Recordamos las fórmulas para rotacional y divergencia: - Rotacional: $$\operatorname{rot}\mathbf{F}=\left( \dfrac{\partial F_3}{\partial y}-\dfrac{\partial F_2}{\partial z},\; \dfrac{\partial F_1}{\partial z}-\dfrac{\partial F_3}{\partial x},\; \dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y} \right).$$ - Divergencia de un campo $\mathbf{G}=(G_1,G_2,G_3)$: $$\operatorname{div}\mathbf{G}=\dfrac{\partial G_1}{\partial x}+\dfrac{\partial G_2}{\partial y}+\dfrac{\partial G_3}{\partial z}.$$ 3. Sustituimos $\mathbf{G}=\operatorname{rot}\mathbf{F}$ en la fórmula de la divergencia y agrupamos derivados mixtas. 4. Aplicamos la igualdad de derivadas mixtas: $\dfrac{\partial^2}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2}{\partial y\partial x}$, etc., para ver que los términos se cancelan entre sí, dando cero. > **Definición útil:** (Teorema de Schwarz) Si $f$ tiene derivadas parciales de segundo orden continuas en una región, entonces $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$. ## Ejemplo guiado: verificar el teorema para un campo dado Verifique el teorema para $$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(xy^2,\; x^2 z,\; y^2 z^2\right).$$ 1. Calculemos el rotacional $\operatorname{rot}\mathbf{F}$. Usando la fórmula $$\operatorname{rot}\mathbf{F}=\left( \dfrac{\partial F_3}{\partial y}-\dfrac{\partial F_2}{\partial z},\; \dfrac{\partial F_1}{\partial z}-\dfrac{\partial F_3}{\partial x},\; \dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y} \right),$$ calculemos cada componente: - Primera componente: $$\dfrac{\partial F_3}{\partial y}-\dfrac{\partial F_2}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(y^2 z^2\right)-\dfrac{\partial}{\partial z}\left(x^2 z\right)=2y z^2 - x^2.$$ - Segunda componente: $$\dfrac{\partial F_1}{\partial z}-\dfrac{\partial F_3}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial z}\left(x y^2\right)-\dfrac{\partial}{\partial x}\left(y^2 z^2\right)=0-0=0.$$ - Tercera componente: $$\dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(x^2 z\right)-\dfrac{\partial}{\partial y}\left(x y^2\right)=2x z - 2x y.$$ Por tanto $$\operatorname{rot}\mathbf{F}=\left(2y z^2 - x^2,\; 0,\; 2x z - 2x y\right).$$ 2. Ahora calculemos la divergencia de $\operatorname{rot}\mathbf{F}$: $$\operatorname{div}\left(\operatorname{rot}\mathbf{F}\right)=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(2y z^2 - x^2\right)+\dfrac{\partial}{\partial y}(0)+\dfra