Test sobre Campos Gradientes y Teorema Fundamental de Integrales de Línea
Campos Gradientes y Teorema Fundamental de Integrales de Línea
Cálculo en varias variables
20 preguntas
Pregunta 1: Para un campo vectorial que es un campo gradiente, ¿es posible determinar una función potencial?
A. Sí
B. No
Explicación: El material de estudio incluye ejercicios donde se pide "Determine una función potencial para cada uno de los siguientes campos gradientes", lo que confirma que es posible determinar una función potencial para un campo gradiente.
Pregunta 2: Un campo vectorial F: U ⊆ R n → R n se define como un campo gradiente sobre el conjunto U si es el gradiente de un campo escalar diferenciable f: U ⊆ R n → R sobre un conjunto abierto U.
A. Sí
B. No
Explicación: Según la definición de campo gradiente, un campo vectorial F se considera un campo gradiente sobre el conjunto U cuando es el gradiente de un campo escalar diferenciable f sobre el conjunto abierto U.
Pregunta 3: La función potencial de un campo gradiente es única.
A. Sí
B. No
Explicación: Si f(x) es un potencial de un campo gradiente, entonces h(x) = f(x) + C también es un potencial para cualquier constante C en R. Por lo tanto, la función potencial no es única.
Pregunta 4: La integral de línea de un campo vectorial F entre dos puntos, a lo largo de una curva suave a trozos, puede calcularse como la diferencia de una función potencial evaluada en los puntos finales, incluso si F no es un campo gradiente.
A. Sí
B. No
Explicación: El Teorema fundamental del cálculo para integrales de línea establece que la evaluación de la integral de línea f(r(b)) - f(r(a)) es válida específicamente cuando el campo vectorial es un campo gradiente, es decir, ∇f = F. No se indica que este método sea aplicable a cualquier campo vectorial F que no sea explícitamente el gradiente de una función escalar f.
Pregunta 5: Para el campo gradiente F(x,y) dado en el Ejercicio 1, la función potencial determinada es única.
A. Sí
B. No
Explicación: Si un campo vectorial es un campo gradiente, su función potencial no es única. En efecto, si f(x) es un potencial del campo, entonces h(x) = f(x) + C también lo es, cualquiera sea la constante C en R.