Resumen de Campos Gradientes y Teorema Fundamental de Integrales de Línea

## Introducción Este material explica los **campos gradiente (campos conservativos)** y el **teorema fundamental del cálculo para integrales de línea**, con ejemplos y ejercicios resueltos para estudiantes que no asisten a clases presenciales. Se presenta la teoría en partes pequeñas, ejemplos paso a paso y aplicaciones físicas. ## 1. Campos gradiente (campos conservativos) > **Definición:** Sea $U\subset\mathbb{R}^n$ abierto. Un campo vectorial $\mathbf{F}:U\to\mathbb{R}^n$ es un **campo gradiente** si existe una función escalar diferenciable $f:U\to\mathbb{R}$ tal que > $$\nabla f = \mathbf{F}.$$ > En este caso $f$ se llama **función potencial** de $\mathbf{F}$. ### Propiedades esenciales - Si $f$ es potencial de $\mathbf{F}$, entonces cualquier función $h(x)=f(x)+C$, con $C\in\mathbb{R}$, también es potencial de $\mathbf{F}$. - Los campos gradiente se llaman también **conservativos**. - Un campo conservativo tiene trabajo entre dos puntos independiente del camino. - En regiones suficientemente 'simples' (simply connected) y con componentes parciales continuas, una condición práctica para que $\mathbf{F}=(P,Q)$ en $\mathbb{R}^2$ sea gradiente es $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.$$ Para $\mathbf{F}=(P,Q,R)$ en $\mathbb{R}^3$ se usan condiciones análogas relacionadas con la rotacional: si $\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}$ y el dominio es simplemente conexo, entonces $\mathbf{F}$ es conservativo. ### Comparación rápida | Concepto | Campo gradiente | Campo no gradiente | |---|---:|---:| | Existencia de potencial $f$ | Sí | No | | Trabajo independiente del camino | Sí | No | | Rotacional $\nabla\times\mathbf{F}$ | $\mathbf{0}$ (en dominios adecuados) | No necesariamente | ### Cómo encontrar una función potencial (método) 1. Suponga $\mathbf{F}=(P(x,y),Q(x,y))$ y busque $f$ tal que $f_x=P$, $f_y=Q$. 2. Integre $P$ respecto de $x$: $f(x,y)=\displaystyle\int P(x,y)\,dx + g(y)$, donde $g$ es una "constante" respecto de $x$ (función de $y$). 3. Derive la expresión obtenida respecto de $y$ y compare con $Q$ para hallar $g'(y)$. 4. Integre $g'(y)$ para obtener $g(y)$ y así $f(x,y)$. ### Ejemplo 1 (resuelto) > Sea $f(x,y,z)=3x^2 y z^3$. Entonces > $$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)=\left(6 x y z^3,\;3 x^2 z^3,\;9 x^2 y z^2\right).$$ > Por tanto $\mathbf{F}(x,y,z)=\left(6 x y z^3,\;3 x^2 z^3,\;9 x^2 y z^2\right)$ es un campo gradiente con función potencial $f(x,y,z)=3x^2 y z^3$. ### Ejercicios propuestos (planteamiento) 1. Determine una función potencial para $$\mathbf{F}(x,y)=\left(2x e^{x^2+y^2}+y\tan(x)+e^{x^2+y^2}\sec^2(x)+20x^3,\;2y e^{x^2+y^2}\tan(x)\right).$$ 2. Determine una función potencial para $$\mathbf{F}(r,s,t)=\left(e^r\sin(t),\;-2s\sin\left(s^2-t\right),\;e^r\cos(t)+\sin\left(s^2-t\right)\right).$$ (Pistas: comprobar que las condiciones de igualdad de derivadas cruzadas se cumplen y aplicar el método de integración por componentes.) Fun fact: ¿Sabías que los campos gravitatorio y eléctrico, en ausencia de corrientes o masas cambiantes, son ejemplos físicos clásicos de campos conservativos, por lo que el trabajo entre dos puntos no depende del camino seguido? ## 2. Teorema fundamental del cálculo para integrales de línea > **Teorema:** Sea $f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ diferenciable con $\nabla f$ continuo en $U$. Sea $\gamma$ una curva suave por tramos contenida en $U$, parametrizada por $\mathbf{r}:[a,b]\to\gamma$. Entonces > $$\int_{\gamma} \nabla f\cdot d\mathbf{r} = f\bigl(\mathbf{r}(b)\bigr) - f\bigl(\mathbf{r}(a)\bigr).$$ ### Interpretación - Si $\mathbf{F}=\nabla f$, la integral de línea de $\mathbf{F}$ entre dos puntos depende solo de los valores de $f$ en esos puntos. - Esto simplifica cálculos de trabajo: no se necesita parametrizar caminos complicados si se conoce el potencial. ### Ejemplo 2 (aplicación práctica) Calcule $$\int_{\Omega} \mathbf{F}\cdot d\mathbf