Campos Gradientes y Teorema Fundamental de Integrales de Línea
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Pregunta: ¿Qué es un campo gradiente (o campo conservativo)?
Respuesta: Es un campo vectorial F: U⊆R^n → R^n que es el gradiente de una función escalar diferenciable f: U→R; es decir ∇f = F. A f se le llama función potenci
Pregunta: ¿Qué observación importante hay sobre la unicidad del potencial de un campo gradiente?
Respuesta: El potencial no es único: si f(x) es un potencial, entonces h(x)=f(x)+C también lo es para cualquier constante C∈R.
Pregunta: Menciona dos ejemplos de campos físicos que son campos gradientes.
Respuesta: Los campos gravitatorio y eléctrico.
Pregunta: ¿Qué propiedades permiten concluir que tienen los campos conservativos (gradientes)?
Respuesta: Tienen naturaleza irrotacional y el trabajo realizado por una fuerza conservativa entre dos puntos es independiente del camino que los une.
Pregunta: Dado f(x,y,z)=3x^2 y z^3, ¿cuál es ∇f (el campo vectorial asociado)?
Respuesta: ∇f = (6 x y z^3, 3 x^2 z^3, 9 x^2 y z^2).
Pregunta: Encuentra una función potencial para F(x,y)=(2x e^{x^2+y^2}+y tan(x)+e^{x^2+y^2} sec^2(x)+20 x^3, 2y e^{x^2+y^2} tan(x) ).
Respuesta: Una función potencial f satisface ∂f/∂x = 2x e^{x^2+y^2}+y tan(x)+e^{x^2+y^2} sec^2(x)+20 x^3 y y ∂f/∂y = 2y e^{x^2+y^2} tan(x). (El enunciado pide de
Pregunta: Determina una función potencial para F(r,s,t)=(e^r sin t, -2 s sin(s^2 - t), e^r cos t + sin(s^2 - t)).
Respuesta: La función potencial f debe cumplir: ∂f/∂r = e^r sin t, ∂f/∂s = -2 s sin(s^2 - t), ∂f/∂t = e^r cos t + sin(s^2 - t). Integrando estas expresiones se o
Pregunta: Enunciá el teorema fundamental del cálculo para integrales de línea para campos gradientes.
Respuesta: Si f: U⊆R^n→R es diferenciable con gradiente continuo ∇f en U, y γ es una curva suave por partes en U parametrizada por r:[a,b]→γ, entonces ∫_γ ∇f · d
Pregunta: Aplica el teorema fundamental del cálculo: ¿cómo calcularías ∫_Ω F·dS para F(x,y,z)=(2x e^{5z}+2x y^3, 3 x^2 y^2, 5 x^2 e^{5z}+4 z^3) entre P=(-1,1,1)
Respuesta: Como F es gradiente de f (implícito en el enunciado), la integral de línea entre P y Q es f(Q)-f(P). Por tanto basta hallar la función potencial f y e